Импульсная реакция фильтров

Функция отклика. Если на вход нерекурсивного фильтра подать единичный импульс (импульс Кронекера), расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал (формула 2.1.3), которая определяется весовыми коэффициентами b_n оператора фильтра:

y(k) = TL[d(0)] = b_n ③ d(k-n) = h(k) ≡ b_n. (2.2.1)

Для рекурсивных фильтров реакция на импульс Кронекера зависит как от коэффициентов b_n фильтра, так и от коэффициентов обратной связи a_m. С использованием формулы (2.1.2):

y(k) = b_n d(k-n) –a_m y(k-m) = h_k. (2.2.1')

Функция h(k), которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал и однозначно определяется оператором преобразования фильтра, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика).

Если произвольный сигнал на входе фильтра представить в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера

x(k) =d(n) x(k-n),

то, с использованием функции отклика, сигнал на выходе фильтра можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов:

y(k) = h(n) (d(n) x(k-n)) º h(n) x(k-n).

Для нерекурсивных фильтров пределы суммирования в последнем выражении устанавливаются непосредственно по длине импульсного отклика h(n). Для рекурсивных фильтров длина импульсного отклика, в принципе, может быть бесконечной.

Определение импульсной реакции на практике требуется, как правило, только для рекурсивных фильтров, так как импульсная реакция для НЦФ при известных значениях коэффициентов b(n), как это следует из выражения (2.2.1), специального определения не требует: h(n) ≡ b(n).

Если выражение для системы известно в общей форме (2.1.2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях. В соответствии с выражением (2.2.1) сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = x_k + 0.5y_k-1.

Входной сигнал: x_k= d_o= {1,0,0,0,...}.

Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:

y_o = x_o+0.5 y_-1 = 1+0 = 1 = h_o. y₁ = x₁+0.5 y_o = 0+0.5 = 0.5 = h₁. y₂ = x₂+0.5 y₁ = 0+0.25 = 0.25 = h₂.

y₃ = x₃+0.5 y₂ = 0.125 = h₃. y₄ = x₄+0.5 y₃ = 0.0625 = h₄, и т.д.

Импульсный отклик фильтра: h_k = (O.5)^k, k = 0, 1, 2....

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы ступенчатой функции (функции Хевисайда), которая равна u(k) = 1 при k ³ 0, и u(k) = 0 при k < 0:

g(k) =h(n) u(k-n) =h(n).

Отсюда:

h(k) = g(k) - g(k-1).

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое). Форму реакции фильтра на функцию Хевисайда можно видеть на рис. 2.1.4 (с точки k = 10 и далее) в сопоставлении с реакцией на импульс Кронекера в точке k = 2.

Дата добавления: 2014-01-03