Сумма событий, образующих полную группу, есть событие достоверное

Основные понятия теории вероятностей. События и соотношения между ними. Классификация событий

В основе теории вероятностей, как и в любой науке, лежат некоторые определённые начальные понятия, при помощи которых даются логическое определение последующих более сложных понятий. Одними из основных понятий теории вероятностей являются: испытание и случайное событие, или (как говорят чаще) событие. Дадим определение события.

Событием называется всякий результат (исход), который может произойти или не произойти в результате испытания.

Испытание – это совокупность условий и действий, при которых получен или может быть получен тот или иной результат. Есть и другая интерпретация испытания – это действие, которое может повторяться при неизменных условиях любое количество раз.

Качественная и количественная стороны испытания представлены на рисунке 2.

Целью испытания является получение тех или иных результатов или исходов.

Примеры:

1) Испытание: выстрел из орудия, событие: попадание в цель.

2) Испытание: попадание в цель, событие: поражение цели.

Отличительной чертой теории вероятностей является то, что она рассматривает появление события в ходе испытания не отвлечённо, а при выполнении всех или практически всех условий, которое можно повторять большое число раз.

Совокупность условий, при которых повторяется испытание, называют комплексом условий.

Пользуясь понятием комплекса условий, всякое испытание можно понимать как реализацию определённого комплекса условий.

Очевидно, что при одном и том же испытании в зависимости от сочетания условий, определяющих течение наблюдаемого процесса, могут наступать различные события. В зависимости от комплекса условий и характера интересующего нас исхода, события могут быть достоверными, невозможными или случайными.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий (обозначается заглавной греческой буквой омега – W).

Пример: реализация комплекса условий: взрыв гранаты, достоверное событие: разрушение её оболочки.

Невозможным называется такое событие, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий (обозначается – Æ).

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, невозможное событие: выпадение семёрки.

Случайным называется такое событие (обозначается А, В, С…), которое при реализации данного комплекса условий может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не осуществиться).

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, случайное событие: выпадение двойки.

Для того чтобы разработать аппарат и методику исследования случайных событий в теории вероятностей, устанавливается ряд соотношений между ними и проводится их классификация.

Рассмотреть соотношения между событиями значит ввести операции, позволяющие выражать одни случайные события через другие. Такое представление одного события через другое (или другие) событие называется комбинацией событий.

Однако перед тем как рассмотреть соотношения между событиями возникает необходимость введения определенных операций, позволяющих не только упростить форму записей, но и существенно облегчить логическое построение научных выводов.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. В теории вероятностей принято вводить такие операции над событиями, как их сумма и произведение.

Дадим определение суммы и произведения событий.

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (наступлении события А или события В или обоих вместе).

Обозначается А + В = С.

Пример: орудие производит два выстрела по танку. Событие А={попадание в танк при первом выстреле}, событие В={попадание в танк при втором выстреле}, событие С={попадание в танк}.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Обозначается А´В = С.

Пример: орудие производит один выстрел по танку. Событие А={попадание в танк }, событие В={поражение танка при попадании в него}, событие С={поражение танка при одном выстреле}.

Кроме аналогий с арифметическими действиями, в теории вероятностей широкое применение нашла теоретико-множественная терминология, когда обычные свойства операций над множествами переносятся на операции над событиями.

Теоретико-множественной терминология в теории вероятностей, позволяет представить операции над событиями как операции над подмножествами.

Используя терминологию теории множеств некоторое основное множество W называют пространством элементарных событий или достоверным событием (W={w}), а его элементы – w – элементарными событиями, а некоторые его подмножества А Íw – событиями.

Кроме того, действия над событиями (множествами) могут быть представлены и геометрическим отображением. Принятая геометрическая интерпретация случайных событий называется диаграммой Эйлера-Венна, на которой достоверное событие (W) обозначается прямоугольником, а наступление случайных события (А, В….) (или их комбинации) – заштрихованной областью в этом прямоугольнике.

Используя теоретико-множественную терминологию, трактовка суммы и произведения событий может быть представлена в следующем виде:

Объединением (суммой) событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементов А и всех элементов В (совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из них). Обозначается АÈВ (рисунок 3).

Рисунок 3

Пересечением (произведением) событий А и В называется событие С, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А и в В. Обозначается АÇВ (рисунок 4).

Рисунок 4

При составлении комбинаций событий весьма удобна определённая классификация событий, указывающая на отношения различных событий между собой.

События А и В называют совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

Пример: два орудия производят по одному выстрелу по танку. Cобытия А={попадание в танк из первого орудия} и событие В={попадание в танк из второго орудия} - совместные, так как попадание в танк из первого орудия не исключает возможности попадания в танк из второго орудия.

События А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример: Пример: бросается игральный кубик. При этом возможны следующие исходы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cобытие А={выпадение 1}, событие В={выпадение 2}, событие С={выпадение 3}, событие D={выпадение 4}, событие E={выпадение 5} и событие F={выпадение 6} несовместные, так как выпадение одной цифры исключает возможность выпадения остальных других цифр.

Несовместные события должны удовлетворять условию: произведение несовместных событий есть событие невозможное ().

Говорят, что несколько событий образуют полную группу событий, если при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из них.

Пример 1: студент сдаёт экзамен по математике, при этом может быть получена оценка либо «отлично», либо «хорошо», либо «удовлетворительно», либо «неудовлетворительно». Событие А₁={получение оценки «отлично»}, событие А₂={получение оценки «хорошо»}, событие А₃={получение оценки «удовлетворительно»} и событие А₄={получение оценки «неудовлетворительно»} образуют полную группу, так как получить какой-либо иной результат экзамена невозможно.

Пример 2: в ящике находятся три исправных и две неисправных лампочки. Вынимают четыре лампочки. Событие А = {вынуть хотя бы одну исправную лампочку} и событие В = {вынуть хотя бы одну неисправную лампочку} составляют полную группу событий, так как при вынимании четырёх лампочек неизбежно одна будет либо исправна, либо неисправна.

А₁ + А₂ + А₃ + … + А_n = W.

В примере 1 имеют место несовместные события (т.к. наступление любого из них исключает появление другого). В примере 2 даны два события, которые не исключают друг друга. При этом вне зависимости от того, какие события составляют полную группу – совместные или несовместные, опыт не может кончиться помимо них.

Несовместные события, образующие полную группу, называют единственно-возможными.

События А₁, А₂, А₃,…, А_n называют равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является объективно возможным, чем другое. При этом следует иметь в виду, что наше незнание о том, какое из них вероятнее, не является основанием для того, чтобы считать события равновозможными.

Про опыт, в котором имеют место равновозможные события, образующие полную группу несовместных событий, говорят, что он обладает симметрией возможных исходов.

С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связывают группу событий, обладающих всеми тремя свойствами. Если события образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то такие события называют случаями (или «шансами»), а про опыт говорят, что он сводится к «схеме случаев» (к «схеме урн»).

Достаточно часто на практике приходится сталкиваться с наступлением двух несовместных событий, образующих полную группу. Если по условиям предыдущего примера объединить получение оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» как сдачу экзамена, то мы будем иметь только два события, образующих полную группу: сдачу экзамена и не сдачу экзамена.

Два несовместных события А и В, образующие полную группу событий называют противоположными (обозначают ) (рисунок 5).

Рисунок 5

Противоположные события должны удовлетворять следующим условиям:

· сумма противоположных событий есть событие достоверное (А+= Ω);

· произведение противоположных событий есть событие невозможное (А×=).

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В (событие А благоприятствует событию В), если из наступления события А следует наступление события В. (- событие В содержится в А) (рисунок 6).

	А

Рисунок 6

Для того, чтобы событие А влекло за собой наступление события В необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

· сумма событий А и В есть событие А. (А + В = А);

· произведение событий А и В есть событие В. (А × В = В);

· произведение события В и противоположного событию А, есть событие невозможное (× В =).

Пример: орудие производится выстрел по танку. Событие А ={попадание в танк}, событие В ={попадание в башню танка}. Для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк, но при этом, попадание в танк не означает попадание в его башню. Таким образом, можно говорить о том, что событие В содержится в событии А или является его частью.

Несомненно, для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк. Таким образом, событие В ={попадание в башню танка} содержится в событии А или является его частью и обозначается В Í А (событие В содержится в событии А).

Легко проверить, что для того, чтобы событие В содержалось в событии А, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1. Если снаряд попадает либо в танк, либо в башню, он всё равно попадёт в танк (А + В = А).

2. Для того чтобы попасть в башню, необходимо попасть в танк. (А × В = В).

3. Если снаряд не попадёт в танк, то соответственно он и не попадёт и в башню танка (× В = Æ).

Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии А, то такие события равносильны. (Еслии ,то А = В).

Пример: для поражения цели достаточно одного попадания. Событие А ={попадание в цель хотя бы одним снарядом}, событие В ={поражение цели} равносильны.

Дата добавления: 2014-01-03