Решение. Геометрическая вероятность

Пример 3

Геометрическая вероятность

Например, пусть линия электропередач, соединяющая пункты A и B, в результате бури оборвались. Какова вероятность того, что обрыв произошел на участке, заключенном между пунктами C и D, принадлежащем отрезку AB? Множество элементарных событий в данном случае бесконечно, так как обрыв возможен в любой точке AB. При этом естественно предполагать, что вероятность обрыва на любом участке пропорциональна длине этого участка. Так как вероятность обрыва на всем AB равна 1, вероятность обрыва на CD выразится

.

Геометрическое определение вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область - часть области, равна

Наудачу выбираются два действительных числа,. Найти вероятность того, что.

Поставим в соответствие паре чисел и точку на плоскости.

Пространство элементарных выборок будет квадрат, двумя сторонами которого являются единичные отрезки осей координат.

y

x

y² = x

Фигура, множество точек которой соответствует исходам, благоприятным событию, ограничена графиками функций,,. Ее площадь, а площадь квадрата равна единице.

.

4. Вычисление вероятностей сложных событий
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Условная вероятность

Теорема 1. (Сложения вероятностей)

Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

.

Вероятность суммы несовместных событий рвана сумме их вероятностей, т.е.

.

.

События и называются независимыми, если вероятность не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события, если вероятность события зависит от того, произошло или не произошло событие.

Вероятность события, вычисленная при условии, что имело место, называется условной вероятностью.

Теорема 2. (Умножения вероятностей)

Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного их этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое наступило:

.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Дата добавления: 2014-01-03