Решение. Нормальный закон распределения

Пример 5

Решение

Пример 4

Решение

Пример 3

Решение

По формуле имеем

.

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью

где – математическое ожидание случайной величины; – среднее квадратичное отклонение величины.

– называется функцией Лапласа, или интеграл вероятностей, функция ошибок.

Иногда используют другие формы функции Лапласа, например,

– нормированная функция Лапласа.

;.

Отметим следующие свойства функции Лапласа:

1);

2);

3);

4).

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу.

Пользуясь формулой, получим

.

По таблице приложения. Отсюда искомая вероятность

.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и. Найти.

Используя формулу, имеем

.

По таблице приложения находим.

Поэтому.

Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием. Задан интервал, не включающий начало координат. При каком значения среднего квадратического отклонения вероятность попадания в достигает максимума?

Для решения задачи сделаем схематический чертеж:

Рис

Значение найдем, дифференцируя по вероятность попадания в и приравнивая производную к нулю. Имеем

.

.

Отсюда

,

и, следовательно,

.

Для малого интервала

.

20. Закон больших чисел

Трудно сказать о том, какие значения примет случайная величина. Все зависит от совокупности случайных обстоятельств. Когда таких случайных обстоятельств очень много, то, оказывается, существуют условия, позволяющие предвидеть ход опыта, явления, которые получили название закона больших чисел или предельных теорем.

Если существует математическое ожидание квадрата случайной величины, то имеет место неравенство:

.

Это неравенство называется вторым неравенством Чебышева.

Первое неравенство Чебышева: если существует, то для всех имеет место.

Выберем в качестве случайной величины центрированную случайную величину и применим к ней второе неравенство Чебышева:

.

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Если случайные величины в последовательности попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию

,

то для всех

.

Теорема Маркова (закон больших чисел в общей формулировке).

Если дисперсии произвольных случайных величин в последовательности удовлетворяют условию

,

то имеет место утверждение

.

Дата добавления: 2014-01-03