Тема: Преобразования Галилея. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца и их следствия

1.Постулаты СТО

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (υ << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности (или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K'). В частном случае, когда система K' движется со скоростью υ вдоль положительного направления оси x системы K (рис.1), преобразования Галилея имеют вид:

Предполагается, что в начальный момент оси координат обеих систем совпадают.

Предположим, что В – это движущаяся частица. Пусть u_x’, u_y’ и_z’ – компоненты ее скорости в системе отсчета x’, y’, z’. По определению

Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

Преобразования для ускорения с учетом, что v = const :

где

2. Cледствия постулатов СТО и преобразований Лоренца.

Следствие 1. Относительность одновременности

Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x' ₁ ≠ x' ₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t' ₁ = t' ₂ = t') происходят два одновременные события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

, ,

,

Например, пусть в системе отсчета K' вдоль оси x' неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 5 (a)), система K' движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K' дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t'. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 5 (b)).

Таким образом, два события, одновременные с точки зрения одного наблюдателя, не обязательно должны быть одновременными с точки зрения второго наблюдателя.

Следствие 2. Относительность промежутков времени

Рассмотрим инерциальную систему K', которая движется с некоторой скоростью υ в положительном направлении оси x системы K. В разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и синхронизировать их между собой. Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K'. Будут ли эти интервалы одинаковы?

Пусть оба события в системе K' происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними равен τ₀ по часам системы K'. Этот промежуток времени называется собственным временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы K?

Рассмотрим следующий эксперимент. На одном конце твердого стержня некоторой длины l расположена импульсная лампа B, а на другом конце – отражающее зеркало M. Стержень расположен, неподвижно в системе K' и ориентирован параллельно оси y' (рис. 6). Событие 1 – вспышка лампы, событие 2 – возвращение короткого светового импульса к лампе.

В системе K' оба рассматриваемых события происходят в одной и той же точке. Промежуток времени между ними (собственное время) равен τ₀ = 2 l / c. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2 L, равный

где τ – промежуток времени между отправлением светового импульса и его возвращением, измеренный по синхронизованным часам C ₁ и C ₂, расположенными в разных точках системы K. Но согласно второму постулату СТО, световой импульс двигался в системе K с той же скоростью c, что и в системе K'. Следовательно, τ = 2 L / c.

Выразим скорость света:

Возведем в квадрат обе части равенства:

Выразим τ:

Поделим числитель и знаменатель на скорость света с:

где β = υ / c.

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от системы отсчета, т. е. является относительным. Собственное время τ₀ всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.

Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K': для любого наблюдателя в K или K' медленнее идут часы, связанные с движущейся по отношению к наблюдателю системой. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены μ-мезоны – элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное время жизни равно τ₀ = 2,2·10^–6 с. Но в космических лучах μ-мезоны движутся со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского эффекта замедления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь, равный c τ₀ ≈ 660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно , так как β = υ / c близко к единице. Поэтому средний путь υτ, проходимый мезоном в земной системе отсчета, оказывается значительно больше 660 м.

С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый «парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в космическое путешествие. Для него медленнее течет время на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его.

Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней точке траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле.

Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы – это атомные часы на пучке атомов цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в 1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычных реактивных лайнерах, а другие оставались на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от находящихся на Земле часов на (184 ± 23)·10^–9 с. Наблюдаемое отставание составило (203 ± 10)·10^–9 с, т. е. в пределах ошибок измерений. Через несколько лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.

Следствие 3. Относительность расстояний

Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K', движущейся со скоростью υ относительно системы отсчета K (рис. 7). Стержень ориентирован параллельно оси x'. Его длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K', равна l ₀. Ее называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K?

Под длиной l стержня в системе K, относительно которой стержень движется, понимают расстояние между координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам этой системы. Если известна скорость системы K' относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина l движущегося со скоростью υ стержня равна произведению υτ₀, где τ₀ – интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K (рис7). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то промежуток времени τ₀ в системе K является собственным временем. Итак, длина l движущегося стержня равна

l = υτ₀.

Найдем теперь связь между l и l ₀. С точки зрения наблюдателя в системе K', точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня налево со скоростью υ, поэтому можно записать

l₀ = υτ,

где τ есть промежуток времени между моментами прохождения точки A мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K'. Используя связь между промежутками времени τ и τ₀ , найдем

Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения длины.

Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень расположить перпендикулярно оси x, вдоль которой движется система K', то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K'. Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (υ << c) формулы СТО переходят в классические соотношения: l ≈ l ₀ и τ ≈ τ₀. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при β = υ / c → 0.

3. Релятивистское преобразование скоростей

Имеется две инерциальные системы отсчета: одна К покоится, другая К’ двигается со . Зная скорость частицы в одной системе, необходимо найти скорость относительно другой системы:

Разделим числитель и знаменатель на:

Аналогично для

Таким образом, если скорость частицы Если сжимать с двух концов стальную линейку, то она будет изгибаться. Изгиб стержня при продольном сжатии называется деформацией продольного изгиба.

Представим себе брусок в форме параллелепипеда, закрепленный на плоской поверхности. Если к его верхней и нижней граням приложить равные и противоположно направленные силы, параллельные этим граням, то можно наблюдать сдвиг верхних слоев бруска относительно нижних на небольшой угол θ. Сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга под действием сил, параллельных этим слоям, называется деформацией сдвига.

Прикладывая к торцам стержня две пары сил, поворачивающих эти торцы в противоположные стороны можно обнаружить поворот слоев стержня, параллельных торцам, на некоторый угол. Это видно по искривлению образующей АВ. Поворот параллельных слоев тела относительно друг друга под действием двух пар сил называется деформацией кручения.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Каждая из описанных выше деформаций может быть большой или маленькой. Величину любой из них можно оценивать абсолютной деформацией ΔlАбсолютной деформацией называется численное изменение какого-либо размера тела под действием сил. Например, при одностороннем растяжении (сжатии) тела абсолютной деформацией является изменение длины тела .

Однако более наглядной оценкой изменения объема или формы тела под действием приложенных сил является относительная деформация ε (греч. «эпсилон»). Относительной деформацией называется число, показывающее, какую часть от первоначального размера тела составляет абсолютная деформация

Например, при одностороннем растяжении (сжатии) получим

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F, касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

где Δh — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых углов tgα ≈ α).

2. Механическое напряжение

В деформированном твердом теле, вследствие смещения частиц в кристаллической решетке относительно друг друга, возникают внутренние силы, которые создают в материале напряжение. Наличие внутренних сил в деформированном теле можно показать на следующем примере.

Физическая величина, определяемая модулем силы упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела, называется механическим напряжением σ:

Выведем единицу измерения напряжения:

В системе СИ за единицу σ принимается такое механическое напряжение в материале, при котором на площадь сечения в 1 м^а действует внутренняя сила в 1 Н.

Если внутренняя сила действует перпендикулярно сечению, то напряжение называется нормальным σ_н (например, при деформации продольного растяжения). Если же эта сила действует параллельно сечению, то напряжение называют касательным σ_к (например, при деформации сдвига).

3. Закон Гука. Модуль упругости

Английский физик Р. Гук (1635 — 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε и напряжение σ пропорциональны друг другу: механическое напряжение в упруго деформированном теле прямо пропорционально относительной деформации этого тела:

где Е обозначает модуль упругости называемый модулем Юнга. Модуль Юнга измеряется нормальным напряжением, которое должно возникнуть в материале при относительной деформации, равной единице, т. е. при увеличении длины образца вдвое.

C учетом, что

, то
или

где k – коэффициент упругости.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца.

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между σ и ε оказывается линейной (участок OA на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение σ = σпр, при котором сохраняется линейная связь между σ и ε, называется пределом пропорциональности (точка A). На линейном участке выполняется з акон Гука:

Коэффициент E в этом соотношении называется модулем Юнга. При дальнейшем увеличении напряжения связь между σ и ε становится нелинейной (участок ab). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, то есть восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости. Если σ > σ_упр, образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация ε_ост. Такие деформации называются пластическими (участки bc, cd и de). На участке bc деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке d достигается наибольшее напряжение σ_max, которое способен выдержать материал без разрушения (предел прочности). В точке E происходит разрушение материала. Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 3.7.2, называются пластичными.

Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практически отсутствует — хрупкими.

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Глава 7: МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Лекция № 10

1. Давление жидкости. Законы Паскаля и Архимеда

Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.

Молекулы жидкости расположены близко друг к другу, совершают колебательные движения вокруг положения равновесия, время от времени некоторые молекулы могут перескакивать с одного положения равновесия в другое. Этим объясняется свойство жидкости – текучесть. Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.

Гидродинамика (от гидро... и динамика), раздел физики, в котором изучаются движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие их с твёрдыми телами.

При решении любой задачи в гидродинамике применяют основные законы и методы механики и, учитывая общие свойства жидкостей, получают решение, позволяющее определить скорость, давление и касательную напряжения в любой точке занятого жидкостью пространства. Механическое напряжение, мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий.

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели). Под моделью несжимаемая жидкость предполагается жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Под идеальной жидкостью понимают жидкость без внутреннего трения между движущимися слоями.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент ΔS с силами ΔF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке ΔS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

(1)

Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м² (1 Па = 1 Н/м²). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления.

При поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности р

вес Р = pgSh, а давление на нижнее основание:

(2)

т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давление pgh называется гиростатическим давлением.

Согласно формуле (2), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость(газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

(3)

где ρ — плотность жидкости; V— объем тела, погруженного в жидкость.

2. Уравнение неразрывности

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока. Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока - трубчатая поверхность, ограниченная линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.

Рис. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени

υ = f(x, y, z) р = φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным

υ = f₁(x, y, z, t) р = φ f₁(x, y, z, t)

Рассмотрим какую-либо трубку тока.

S₁ и S₂ - сечения п ерпендикулярные направлению скорости.

За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt;

Следовательно, за 1 с через S₁ пройдет объем жидкости S₁v₁, где v₁ — скорость течения жидкости в месте сечения S_1.

Через сечение S₂ за 1 с - S₂v₂

Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (р = const), то через сечение S₂ пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S₁ т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на

поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Данное соотношение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

3. Уравнение Бернули

При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии.

Стационарным принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях движения жидкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения. Различные части трубы могут находиться на разных высотах. У идеальной жидкости трение полностью отсутствует.

Выделим в стационарно текущей несжимаемой идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой жидкость течет слева направо. Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁ давление р₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁. Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление р₂, высота сечения h₂. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S₁ к сечению S’₁, от S2 к S'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е₂ — Е₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости, где — полные энергии жидкости массой т в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, за рассматриваемый малый

промежуток времени Δt:

аналогично

Тогда работа:

Приравниваем правые части:

сокращаем на ΔV и переносим слагаемые с индексом 1 влево, а с2 вправо:

Или

р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),

- динамическое давление,

Дата добавления: 2014-01-03