Виды измерений и их погрешности

Элементы теории погрешностей и обработка результатов геодезических измерений

Лекция № 5.

Любые измерения, как бы тщательно их ни выполняли, сопровождаются погрешностями, т. е. отклонениями Δ изме­ренных величин l от их истинного значения X:

Δ= l - X (1)

Это объясняется тем, что в процессе измерений непрерывно ме­няются условия: состояние внешней среды, мерного прибора и измеряемого объекта, а также внимание исполнителя. Поэтому в практике измерений всегда получают приближенное значе­ние величины, точность которого требуется оценить. Возникает и другая задача: выбрать прибор, условия и методику измере­ний, чтобы выполнить их с заданной точностью. Эти задачи решает теория погрешностей измерений. Она изучает законы возникновения и распределения погрешностей, устанавливает допуски к точности измерений, способы определения вероят­нейшего значения измеренной величины, правила предварительного вычисле­ния ожидаемых точностей. Знакомство с этой теорией начнем с классификации измерений и их погрешностей.

Классификация измерений. Все величины, с которыми мы имеем дело, подразделяют на измеренные и вычисленные.

Измеренной величиной называют ее приближенное зна­чение, найденное путем сравнения с однородной единицей меры. Так, последовательно укладывая землемерную ленту по оси квартальной просеки и подсчитывая число уложений, находят приближенное значение длины просеки.

Вычисленной величиной называют ее значение, опреде­ленное по другим измеренным величинам, функционально с ней связанным. Например, площадь квартала прямоугольной формы есть произведение его измеренных сторон.

Для обнаружения промахов и повышения точности резуль­татов одну и ту же величину измеряют неоднократно. По точ­ности такие измерения подразделяют на равноточные и нерав­ноточные. Равноточные - однородные многократные ре­зультаты измерения одной и той же величины, выполненные одним и тем же прибором (или разными приборами одного и того же класса точности), одинаковыми способом и числом приемов, в идентичных условиях. Неравноточные - измерения, выполненные при несоблюдении условий равноточности.

При математической обработке результатов измерений большое значение имеет число измеренных величин. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них - это и будет необходимое число величин. Но чтобы судить о качестве измерений, проконтролировать их правильность и повысить точность результата, измеряют и третий yгол треугольника - избыточный. Вообще принято измерять не только минимальное число необхо­димых величин, но и все избыточные.

Классификация погрешностей. В целях изучения закономер­ностей появления погрешностей последние классифицируют по группам.

Грубые погрешности, которые могут быть вызваны промахами или просчетами наблюдателя, неисправностями прибора, резким ухудшением внешних условий. Такие погрешности выявляют повторными измерениями, а результаты, содержащие их, отбраковывают.

Систематические погрешности, возникающие из-за воздействия одной какой-либо существенной причины. Например, всегда преувеличена длина линий, измеряемых укороченной лентой. Чаще всего такие погрешности возникают из-за неточности прибора, которую можно установить при его поверке. Поэтому систематические погрешности можно исключить из результатов измерений введением соответствующих поправок.

Случайные погрешности, происхождение которых объясняется воздействием многих факторов, способствующих уменьшению или увеличению результата измерения совершенно непредвиденным образом (случайно). Число факторов, вызывающих составные части случайной погрешности, обычно велико. Каждая из этих частей весьма мала по сравнению с общей погрешностью. Поскольку их не улавливает прибор при данной методике измерений, их появление неизбежно. Чем точнее прибор и совершенней методика измерений, тем меньше величина случайной погрешности.

Применение теории погрешностей к равноточным измерениям

Закономерности (свойства) случайных погрешностей. Их вы­являют многократными измерениями какой-либо одной вели­чины, истинное значение которой известно. Вычисленные по (1) случайные погрешности Δ имеют следующие свойства:

1) при оп­ределенных условиях они не превышают по модулю определенного предела Δпр;

2) положительные погрешности появляются приблизительно так же часто, как и равные им по модулю отрицательные;

3) малые по модулю погрешности появляются чаще больших.

Из этих свойств вытекает следствие: при неограниченно большом числе измере­ний одной и той же величины случайные погрешности компен­сируются, а их среднее арифметическое стремится к нулю, т. е.

n

lim(Δ₁+Δ₂+…+Δ_n)/n= lim(1/ n)∑ Δ _i= 0, i =1,2,…, n (1.6)

n→∞ n→∞ i

Из формулы видно, что среднее арифметическое из бесконечно большого числа измерений стремится к истинному значению измеряемой величины. Но так как на практике измеряют одну и же величину лишь несколько раз (2; 4; 9), среднее арифметическое из результатов измерений будет не истинным, а близким к нему, вероятнейшим значением измеренной вели­чины. Вычисляют среднее арифметическое по формуле

L=(l₁+ l₂+…+ l _п)/n=(1/n) ∑ l_i i =1,2,…, n (1.7)

где l₁, l₂,… l _п результаты 1, 2,..., п-го измерений; п - число измерений.

Истинная и вероятнейшая погрешности. Поправки к измерениям. В связи с тем, что есть различие между истинным и вероятнейшим значениями измеряемой величины, погрешности также подразделяют на два вида: истинную и вероятнейшую. Разность между измеренным и истинным значениями величины, вычисленную по (1.5) называют истинной погрешностью, а разность между измеренным l и вероятнейшим (средним арифметическим) L значениями величины v= l - L (1.8) - вероятнейшей погрешностью.

Величины Х -l=w1 и L -l.=w2 называют поправками к измеренным величинам. Поправка равна погрешности, взятой с обратным знаком.

Рассмотрим одно из важнейших свойств вероятнейших погрешностей. Для этого напишем и просуммируем почленно уравнения, по которым вычисляют каждую из погрешностей ряда

v₁ = l₁ – L

v₂ = l₂ – L

…………

v_n = l _n– L

--------------

∑ v = ∑ l - n L

.

Согласно (1.7) nL =∑ l Следовательно, ∑ v = О. Это свойство используют для контроля правильности вычисления арифметического среднего. Если сумма вероятнейших погрешностей равна нулю, вероятнейшее значение измеренной величины вычислено верно.

Абсолютная и относительная погрешност и. Как истинная, так и вероятнейшая погрешности могут быть выражены в абсолютных или относительных величинах. Вычисленные по (1.5) и (1.8) Δ и v - абсолютные погрешности. Их выражают в тех же единицах меры, что и измеренные величины. Относительной погрешностью называют отношение соответствующей абсолютной погрешности к полученному значению измеренной величины. Ее обычно выражают в виде дроби с числителем, равным единице. Относительными погрешностями часто характеризуют точность измерения расстояния, площади и объема. Если, например, измеряя длину просеки, в прямом на­правлении получили 1002,9 м и в обратном 1003,6 м, то относи­тельная погрешность (Dпр - Dобр)/Dср=0,7 M/l003,2 м= 1/1400. Знаменатель относительной погрешности обычно округляют до двух значащих цифр с нулями.

Критерии оценки точности измерений. Средняя квадратическая погрешность. Если известен ряд случайных погрешностей измерений какой-либо величины, можно оценить точность измерений. Для этого достаточно вычислить среднюю погрешность θ, получив ее как среднее арифметическое из модулей погрешностей:

θ=±(| Δ₁|+| Δ₂|+…+| Δ _n|)/ n=±(1/ n)∑| Δ|

Однако предпочитают оценивать точность ряда равноточных измерений по средней квадратической погрешности m одного (отдельного) измерения, которую вычисляют по формуле К.Ф.Гаусса:

(1.9)

Оценка по средней квадратической погрешности более показательна, чем по средней: во-первых, на величину средней квадратической погрешности главное влияние оказывают большие по абсолютной величине случайные погрешности, тогда как при вычислении средней погрешности эти отклонения уравновешиваются малыми; во-вторых, средняя квадратическая погрешность обладает достаточной устойчивостью, поэтому даже при относительно небольшом числе измерений ее величину получают с большой достоверностью

Теоретическими расчетами и опытом установлено, что 67 % случайных погрешностей в данном ряду измерений не превышают по абсолютной величине среднюю квадратическую погрешность т, 95 % - 2т, а 99,7 % - 3т. Поэтому по средней квадратической погрешности судят о допустимости той или иной случайной погрешности. Если случайная погрешность 3т, ее считают предельной, а свыше 3т - грубой. Выполненные с такими погрешностями измерения в обработку не принимают.

По (1.9) оценивают точность измерений, если известно истинное значение измеренной величины; обычно же оно неизвестно. Многократным измерением находят среднее арифметическое значение величины, а затем и вероятнейшие погрешности каждого результата. При этом условии среднюю квадратическую погрешность одного измерения вычисляют по формуле Бесселя:

(1.10)

Точность определения самого среднего арифметического оценивают по формуле

M=±m/√n (1.11),

показывающей, что средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, полученного из равноточных измерений, в √n раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность М, например 70005' ± 1'. Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1'. Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.

Дата добавления: 2014-01-03