Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема Е. М. Райта


В 1947 году В. X. Миллс опубликовал следующий результат:

Существует вещественное число λ такое, что при любом n = 1, 2, ... число

[ λ3ⁿ ] (2)

 

является простым .

Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. М. Райта:

Существует вещественное число μ такое, что всякое число вида

[ 22 ...2 μ ]
(3)

 

является простым.

Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при x≥4 между x и 2x–2 всегда есть простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: доказать её он не смог, а потому использовал в своих рассуждениях в качестве недоказуемого постулата. Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышёвым.

Чтобы найти нужное число μ выберем сначала последовательность простых чисел q1, q2, ..., такую, что при любом n=1, 2, ...

  qn   qn+1  
  < qn+1 < 2   – 1.
(4)

 

(В качестве q1 можно взять любое простое число, возможность же неограниченного продолжения последовательности {qn} с соблюдением неравенства (4) гарантирует постулат Бертрана.)

Обозначим для краткости число

22 ...2 α

 

где берётся n возведений в степень, через exp2nα, a обратную функцию,

log2 log2 ... log2 β

 

— через log 2nβ.

Попробуем выбрать число μ так, чтобы при n=1, 2, ...

[exp2nμ] = qn . (5)

 

Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству

qn ≤ exp2nμ < qn + 1.

 

Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное (5):

log 2nqn ≤ μ < log 2n(qn + 1). (6)

 

Проверьте сами, что из (4) следует

log 21q1 < log 22q2 < ... < log 2nqn < log 2n+1qn+1 < ...
... < log 2n+1(qn+1 + 1) < log 2n(qn + 1) < ... < log 22(q2 + 1) < log 21(q1 + 1).

 

Таким образом, последовательность

log 21q1, log 22q2, ..., log 2nqn, ...

 

строго возрастает и ограничена сверху; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмём в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6), неравенству



log 2nqn < μ < log 2n(qn + 1), (7)

 

и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.

Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого способа находить новые простые числа, ибо чтобы вычислить какое-либо простое число по формулам (2) или (3), нужно числа λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некотором смысле являются всего лишь замаскированными (и ухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточно густого» множества.

Недостатки формул (2) и (3) порождены тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые неким косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципе) выписаны явно.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Что требуется? | Простые числа Мерсенна и Ферма

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 919; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.