Уравнение плоской волны

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin wt. С течением времени все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.

х λ

¯V x

0 y

Рис.2. y

График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени, график волны – смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет

Х = Аsinw(t – t),

но t =y/ V, где V - cкорость распространения волны.

Тогда Х = Аsinw(t – y/ V) – уравнение волны (1)

Учитывая, что длина волны l = V T = V /n, откуда V = l/T, w = 2p/T =2pn получим

Х = Аsin2p(t/T – y/l) = Asin2p(nt –y/l) = Asin(wt -2py/l)= Asin(wt - кy),

где к = 2p/l -волновое число. Если поменять оси координат, то

y(x,t) = Asin(wt ± kx).

Знак (+) указывает противоположное направление распространения.

Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться l.

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса, сущность которого в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 3. Требуется найти его

¯V Dy

1 2

Рис.3

положение через промежуток времени Dt. Согласно Гюйгенсу, 1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

Dy = V Dt,

где V – скорость волны.

2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а следовательно и Dy неодинаковы в различных направлениях.

Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

и нтенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S_┴., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади.

I = E/∆t∙S_┴,

откуда I=E, если ∆t=1 и S_┴=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²).

Получим выражение для интенсивности волны (можно не давать!!!!!).

Пусть в 1 см³ среды содержится n₀ частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна

Е = n₀mw²A²/2 = rw²A²/2,

где r =n₀m.

Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность

I =E V = r V w²A²/2.

¯V

y

Рис.4 1 см² или 1м²

V

Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Дата добавления: 2014-01-03