Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в некоторой точке с координатой Х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) τ = t₂ – t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К ^'

τ^' = t^'₂ – t^'₁, (4)

причем началу и концу события, согласно (2), соответствуют

t^'₁ = (t₁ – VX/C²)/√1 – β², t^'₂ = (t₂ – VX/C²)/√1 – β². (5)

Подставляя (5) в (4), получаем

τ^' = (t₂ – t₁)/ √1 – β²,

или

τ^' = τ / √1 – β². (6)

Из соотношения (6) вытекает, что τ< τ^', т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолкован следующим образом: интервал времени τ^', отсчитанный по часам в системе К^', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала τ, отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ходчасов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся, однако это замедление становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для τ и τ^' обратимы.

В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадокса часов» или «парадокса близнецов», вызвавшая многочисленные дискуссии. Совершив полет к звезде и вернувшись на Землю, брат-блезнец будет в 1/ √1 – β² раз более молодым, чем его брат, оставшийся на Земле. В действительности здесь парадокса нет. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная – неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реальным и получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с π- мезонами.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^' и покоящийся относительно системы К^'. Длина стержня в системе К^' будет l ^'₀ = x^'₂ - x^'₁, где x^'₁ и x^'₂ – не изменяющиеся со временем t^' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К^' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х₂ - х₁ и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразование Лоренца (2), получим

l ^'₀ = x^'₂ - x^'₁ = (x₂ – Vt)/ (√1 – β²) - (x₁ – Vt)/ (√1 – β²) = (x₂ – x₁) / (√1 – β²),

т.е.

l ^'₀ = l / (√1 – β²). (7)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Или: движущийся стержень «сокращается» в длине. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К^', опять-таки придем к выражению (7). В каждой системе отсчета получаем одинаковый результат; относительность длины, как и относительность времени, взаимна.

Из (7) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в √(1–β²) раз, т.е так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (2) следует, что

y^'₂ - y^'₁ = y₂ – y₁ и z^'₂ - z^'₁ = z₂ – z₁,

т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К^', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью V. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К^' в момент времени t^' – координатами x^', y^', z^', то

U_x = dx/dt, U_y = dy/dt, U_z = dz/dt и U^'_x = dx^'/dt^', U^'_y = dy^'/dt^', U^'_z = dz^'/dt^'

представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x^', y^', z^' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К^'.

Согласно преобразованиям Лоренца (2),

dx = (dx^' + Vdt^') / (√1 – β²), dy = dy^', dz = dz', dt = (dt^' + Vdx^'/C²)/ (√1 – β²).

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

К^' → К К → К^'

U_x = (U^'_x + V)/(1 + V U^'_x/C²), U^'_x = (U_x - V)/(1 - V U_x/C²),

U_y = U^'_y (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_y = U_y (√1 – β²)/(1 - VU_x/C²),

U_z = U^'_z (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_z = U_z (√1 – β²)/(1 - VU^'_x/C²). (8)

Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то скорость U относительно системы К совпадает с U_x, а скорость U^' относительно К^'— с U^'_x. Тогда закон сложения скоростей примет вид

U = (U^' + V)/ (1 + VU^'/C²), U^' = (U – V)/ (1 – VU/C²). (9)

Из (8) и (9) видно, что закон преобразования скоростей принципиально отличается от закона сложения скоростей в ньютоновой механике.

Если скорости V, U^' и U малы по сравнению со скоростью С, то формулы (8) и (9) переходят в закон сложения скоростей в классической механике.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если U^' = С, то (9) примет вид

U = (C + V)/(1 = CV/C) = C,

Т.е. релятивистский закон сложения скоростей находится в соответствии с постулатами Эйнштейна.

Из (9) следует, что даже если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света С, то их результирующая скорость всегда меньше или равна С. Это получается, если в качестве примера взять случай U^' = V = C и подставить в (9), то получим, что U = С. Таким образом, при сложении скоростей результат не может превысить скорости света в вакуууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

В теории Эйнштейна (четырехмерном пространстве) реальной физической величиной, не зависящей от системы отсчета, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям координат является интервал времени между двумя событиями, такой интервал одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

24. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Эйнштейн показал, что существует зависимость инертной массы от скорости и это свойство всех материальных тел. Непостоянство массы тела – следствие постулатов теории относительности. Инертная масса движущихся релятивистских частиц зависит от величины их скорости, вернее, от отношения скорости к скорости света:

m = m₀ /√1 – V²/C², (1)

где m₀ – масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; m - масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью V. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Как следует из (1), с увеличением скорости инерция тела (частицы) растет и при V→ С стремится к бесконечности. Значит ни одно тело при m>0 не может достичь скорости С.

Опыты на ускорителях, где изучались движения быстрых заряженных частиц, скорость которых приближалась к скорости света, убедительно подтвердили зависимость массы от скорости и правильность формулы (1).

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

F¯ = dp¯/dt = d(mV¯)/dt

оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса материальной точки

¯р = m₀V¯/√1 – V²/C².

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

F¯ = d(m₀V¯/√1 – V²/C²)/dt, (2)

или

F¯ = dp¯/dt, (3)

где

¯р = mV¯ = m₀V¯/√1 – V²/C². (4)

Уравнение (3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики, но в (3) используется релятивистский импульс. Таким образом, уравнение (2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. Сила совпадает с ускорением только в тех случаях, когда она нормальна к скорости или направлена по скорости.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

∑¯р = const.

В теории относительности пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи – пространство-время. Положение материальной точки в теории относительности описывается четырехвектором ¯R. 4-вектором в пространстве-времени считают всякую упорядоченную совокупность четырех чисел, представляющих собой определенные физические величины, чисел, которые изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой в соответствии с лоренцевыми преобразованиями.

Основные определения кинематики и динамики материальной частицы в теории относительности с помощью 4-векторов можно записать следующим образом:

«положение» ¯R,

«скорость» ¯ U = d¯ R /dt,

«ускорение» ¯ W = d¯U/dt, (5)

«импульс» ¯ p = m¯ U,

«сила» F¯ = dp¯/dt = md¯ U/ dt = m¯ W.

Как видно из приведенных выше формул, все эти определения по форме полностью соответствуют ньютоновой механике, только вместо 4-векторов следует подставить 3-векторы. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая V<<С. Классическая механика является некоторым приближением более точной релятивистской механики, которая базируется на постулате независимости скорости света от движения приемника и источника и постулате относительности.

Закон взаимосвязи массы и энергии. Поскольку массатела растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь массы с кинетической энергией. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.

Известно, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

dT = dA или dT = F·dr. (6)

Учитывая, что dr = Vdt, и подставив в (6) выражение (2), получим

dT = (d/dt)(m₀V¯/√1 – V²/C²) Vdt = ¯Vd(m₀V¯/√1 – V²/C²).

Преобразовав данное выражение, получим

dT = d(m₀ C² /√1 – V²/C²) = C²dm, (7)

т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m₀, то, проинтегрировав (7), получим

T = (m - m₀)C², (8)

Или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

T = m₀C²[1/(√1 – V²/C²) -1]. (9)

А. Эйнштейн обобщил положение (7), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии частицы,

ΔЕ = С²Δm, (10)

т.е. если инертная масса увеличивается на некоторую величину Δm, то это означает увеличение энергии на С²Δm, и, наоборот, увеличение энергии на ΔЕ какого-либо физического объекта означает увеличение его инертной массы на ΔЕ/С².

Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m:

Е = mC² = m₀C² /(√1 – V²/C²). (11)

Уравнения (10) и (11) выражают фундаментальный закон природы- закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

Величину m₀C² = Е₀ называют энергией покоящегося тела. Тогда равенство (9) можно представить так:

Е = Е₀ + Т, (12)

т.е. полная энергия равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя Е₀. В полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. В классической механике энергия покоя не учитывается, считают, что при V=0 энергия покоящегося тела равна нулю.

Выражение (9) при скоростях V<<С переходит в классическое: T = m₀V²/2.

Отметим, что уравнение (11) имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем видам энергии, например кинетической, потенциальной, электромагнитной и др., т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса

m = Е/С² (13)

и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Еще в 1905 г. Эйнштейн на простом примере показал, что количество энергии электромагнитного излучения Е обладает инертной массой Е/С². Иногда это называют эквивалентностью массы и энергии.

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного чдра как системы протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро - на протоны и нейтроны). Энергия связи системы

Е_св = ∑m_0iC² – M₀C², (14)

где m_0i – масса покоя I –й частицы в свободном состоянии, M₀ – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Особенно показательно в этом отношении явление «аннигиляции» частиц (или «рождения» пары частиц), когда две частицы одинаковой массы, но с противоположными зарядами (например, электрон и позитрон) сталкиваются и их масса «превращается» в энергию электромагнитного излучения. Или лучше сказать так: в соответствии с законом сохранения энергии взаимодействующих частиц энергия перешла в такое количество энергии электромагнитного излучения, которое имеет массу, равную массе сталкивающихся частиц. Опыты атомной и ядерной физики не только подтвердили выводы теории относительности, но многие из них были поставлены на основе выводов этой теории.

Вернемся еще к энергии покоя Е₀, о которой дорелятивистская физика не имела представления. Нагретое тело должно иметь большую массу, чем то же тело, но холодное; сжатая пружина имеет большую массу; вещества, химически прореагировавшие с выделением энергии, будут иметь меньшую массу, и т.п. Но практически такие изменения массы никогда не наблюдались вследствие очень малых относительных изменений массы – величина ΔЕ/С² (где ΔЕ – приращение энергии) обычно ничтожно мала относительно массы m тел. Точность измерений недостаточна для определения таких изменений.

Дата добавления: 2014-01-03