Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Полиномиальная формула и формула бинома

Пусть требуется вычислить выражение , т.е. перемножив n скобок, привести его к виду

Числа называются полиномиальными коэффициентами. Найдем эти числа. В соответствии с правилами алгебры из каждой скобки выбирается один из символов и они перемножаются. Коэффициенты получаются в результате приведения подобных членов в полученной таким образом сумме произведений. Таким образом коэффициент равен числу последовательностей длины n, составленных из символов , причем символ используется раз. В соответствии с 1.1 число таких последовательностей равно . Это дает полиномиальную формулу: .

В частном случае, когда в n- ую степень возводится двучлен, она используется наиболее часто и называется биномом Ньютона

Из школьного курса математики известны частные случаи этой формулы при n=2 и n=3.

Приведем важнейшие тождества для биномиальных коэффициентов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Тождество 1 уже известно. Тождество 2 можно получить с помощью следующего рассуждения. Выделим в - элементном множестве один из элементов. Каждое - элементное подмножество либо содержит, либо не содержит выделенный элемент. Подмножеств первого типа , второго - .

Третье и четвертое тождества следуют, как это показано, из формулы бинома, причем третье тождество выражает тот факт, что n- элементное множество имеет 2n подмножеств. Пятое тождество получим, если рассмотрим разбиение - элементного множества на - элементное и - элементное. Шестое тождество следует из пятого, если положить.

Отметим, что биномиальные коэффициенты растут по i от 0 до [i/2] и убывают от ] i/2 [ до n. При n- четном максимальный коэффициент один -, при n- нечетном максимальных коэффициентов два - и .

При больших n биномиальные коэффициенты могут быть оценены с помощью асимптотической формулы Стирлинга

, .

 

Тест

1. Коэффициент при в разложении (x1+x2+x3)10 равен а) 103; б) ; в) .

2. Коэффициент при а3b3с4 в разложении равен а)12; б) 24; в) 18.

3. Коэффициент при t17 в разложении равен а); б) 0; в) .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Перестановки, размещения, сочетания и разбиения | Формула включения и исключения
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1211; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.