Постулаты Евклида

АКСИОМЫ ЕВКЛИДА

I. Равные одному и тому же равны между собой.

П. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

III. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.

IV. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

V. Целое больше части.

I. Через две точки можно провести прямую.

И. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.

III. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

С помощью этих постулатов обоснованы геометрические построения.

Пятый постулат называется постулатом о параллельных. Еще до Евклида ученые пытались доказать его, т. е. вывести его справедливость из остальных постулатов. Такие попытки предпринимались затем на протяжении двадцати веков, пока в 1829 г. Н. И. Лобачевский не создал свою геометрию. Им было доказано, что пятый постулат не зависит от остальных предложений и доказать его нельзя.

В «Началах» Евклида изучаются только прямые линии и окружности. Конические сечения, которые к тому времени уже были изучены, в них не вошли. Это объясняется тем, что Евклид избегал рассуждений, связанных с непрерывностью и движением, которые приводили к парадоксам. Он ввел исходные объекты: прямую, точку, окружность, систему постулатов и аксиом, и затем построил математическую теорию, не касаясь вопроса о непрерывности.

(

Однако по существу Евклиду не удалось обойти понятие непрерывности. Так, решая задачу о построении равностороннего треугольника с данной стороной АВ (рис. 15.3), он пишет: «Из точки А как из центра радиусом АВ опишем окружность. Из точки В как из центра опишем окружность тем же радиусом АВ. Из точки С, в которой пересекаются оба круга, проведем к точкам А и В прямые АС и ВС. Треугольник ABC будет требуемым».

Утверждение того обстоятельства, что окружности пересекаются, безусловно, основано на их непрерывности. Нельзя было бы так считать, не прибегая к каким-либо дополнительным предположениям, если бы окружность состояла из дискретного ряда точек. Этот пробел в рассуждениях Евклида был замечен в XVII в. Г. Лейбницем.)

«Начала» Евклида значительно повлияли на развитие математики. В течение многих веков они служили образцом математической строгости. До настоящего времени «Начала» Евклида составляют основу школьного курса геометрии.

Достижения греческой математики не исчерпываются результатами, изложенными в «Началах». Для удовлетворения потребностей астрономии греки построили геометрию сферы, создали начала тригонометрии. Для определения площадей криволинейных фигур они разработали метод исчерпывания — прообраз будущего интегрального исчисления.

Эти методы Древней Греции послужили исходным пунктом для работ ученых XVI—XVII вв. по созданию математического анализа.

Греческие ученые разработали общую теорию конических сечений. Они рассматривали произвольные сечения конуса и записывали полученные кривые в виде уравнений на языке геометрической алгебры. Результаты античной теории конических сечений были использованы математиками XVII в. при создании аналитической геометрии.

Математика средневекового Востока

В более позднее время центр математических исследований переместился на Восток — в Китай, Индию, Среднюю Азию, арабские страны. Средневековая восточная математика представляла собой совокупность вычислительных приемов и методов для решения арифметических и геометрических задач.

Общие черты математики в странах Востока объясняются схожестью общественных структур этих государств. Везде население занималось земледелием, ремеслом, торговлей в рамках постепенно складывающегося феодального общества.

Для решения многочисленных задач, возникающих при строительстве систем орошения, дорог, военных укреплений, храмов и дворцов, требовалось умение измерять объемы и площади, вычислять необходимое количество материалов и рабочих. Разнообразные задачи возникали в связи с распределением налогов и разделами наследства, особенно в арабских странах в соответствии со сложными мусульманскими законами. Все эти практические вопросы приводили к необходимости составления и изучения линейных уравнений и их систем, решения задач на пропорциональное деление, извлечения квадратного и кубического корней, а также составления квадратных и кубических уравнений.

Сочинение китайского автора «Математика в девяти книгах» подвело итоги развития математики к началу нашей эры. В результате многих переработок это сочинение стало математической энциклопедией, к VII— X вв. оно сделалось основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, из которого исходили ученые в своих исследованиях.

В «Математике в девяти книгах» формулируются задачи, а затем дается алгоритм их решения. Объяснений и доказательств приведенных правил нет. Этот догматизм изложения объясняется тем, что учебная математическая литература предназначалась для земледельцев, чиновников, строителей, которым нужны были точные и краткие правила решения определенных задач. Об этом говорят и названия книг: «Измерение полей», «Соотношение между различными видами зерновых культур» и т. д.

Математики Китая работали над созданием алгоритмов, пригодных для решения возможно более широких классов задач. Они получили общий метод решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Основное достижение математики Китая — открытие общего метода решения системы п линейных уравнений с п неизвестными. Распространяя этот метод на любые линейные задачи, впервые в истории математики они ввели положительные и отрицательные числа. Для различения положительных и отрицательных чисел были введены специальные знаки.

Важно отметить, что отрицательные числа были введены для формального распространения алгоритма решения линейных уравнений на любые задачи этого типа. Аналогичные явления имеют место и в дальнейшей истории расширения понятия числа. Так, для развития общей теории решения уравнений третьей и четвертой степеней были впоследствии введены комплексные числа.

Важнейшим достижением математики Индии является позиционная система счисления. Для ее создания необходим был знак нуля, который показал бы отсутствие в данном числе какого-либо разряда. Введенный в Индии нуль изображался в виде кружка. Созданная в Индии единая позиционная десятичная система счисления позволила существенно упростить письменные вычисления.

Оригинальные приемы разработали математики Индии для решения в целых числах неопределенных уравнений. К таким уравнениям приводили задачи астрономии. Весьма вероятны связи между математиками Индии и Китая, где также решались подобные задачи.

В математике Индии преобладали вычислительные приемы. Ученых интересовали правила счета, практические выкладки, а не теоретические рассуждения. Так, в геометрии они вместо доказательств приводили чертежи, сопровождая их одним словом «смотри!». В этом принципиальное отличие средневековой математики от дедуктивной науки Древней Греции, ученые которой стремились к созданию строгих теорий и пренебрегали конкретными числовыми выкладками, так как последние дают только приближенные значения.

Заметим в связи с этим, что, развивая приемы приближенных вычислений, средневековые математики разрабатывали правила нахождения квадратных и кубических корней. В результате этого они свободно оперировали с радикалами, что способствовало развитию понятия об иррациональном числе, равноправном с целыми и рациональными числами. Так на базе вычислительной математики складывалось важнейшее понятие науки — действительное число.

В индийской математике, однако, нет никаких теоретических рассуждений о природе иррационального числа. Идея создания понятия действительного числа путем объединения рациональных и иррациональных чисел была развита в работах математиков Ближнего и Среднего Востока. Математические сочинения народов Средней Азии, Ближнего Востока, северной Африки в IX—XV вв. были написаны на арабском языке, поэтому для их общей характеристики введен термин арабская математика. В центре внимания математики Ближнего и Среднего Востока стояли те же проблемы, что в Китае и Индии.

Преимущество арабских математиков заключается в том, что они овладели дедуктивным методом исследования греческой науки. Это позволило им привлечь к решению вычислительных проблем мощные средства математики. Вместо отдельных правил расчета, создаваемых в Китае и Индии, арабские ученые строили целые теории. Так, на основе теории конических сечений, разработанной в Древней Греции, они создали геометрическое учение об уравнениях третьей степени. Значительное место в арабских сочинениях занимают доказательства.

Математические сочинения арабов послужили впоследствии европейским ученым основным источником информации. Большая часть сведений об античной математике была почерпнута из арабских трактатов и в арабских переводах.

Так же, как в Китае и Индии, математики арабских стран были одновременно астрономами. Для нужд астрономии составлялись таблицы тригонометрических функций. Индийцы ввели понятие синуса угла и составили таблицу синусов. Арабские ученые, хорошо знакомые и с греческой, и с индийской математикой, пошли значительно дальше. Они создали тригонометрию как большую стройную математическую теорию.

В арабских странах проводились не только исследования, связанные с вычислительными проблемами, но и другие. Так, интересные результаты были получены в учении о параллельных. Еще в Древней Греции предпринимались попытки доказать пятый постулат. Арабские математики продолжили эту работу. При этом они основывались на каком-либо явном или неявном допущении, равносильном пятому постулату. Так было проведено доказательство, основанное на допущении — если при пересечении двух прямых какой-нибудь третьей накрест лежащие углы равны, то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. На этой основе была доказана теорема о том, что через любую точку внутри данного угла можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Интересно, что именно на скрытом допущении этого предложения основано «доказательство» пятого постулата, предложенное в 1800 г. А. Лежандром.

Арабские математики были далеки от мысли о построении геометрической системы, отличной от евклидовой. Они только стремились доказать пятый постулат на основе предложений, которые считали очевидными. Но при этом они сделали ряд важных открытий, так как фактически пришли к некоторым простейшим предложениям неевклидовой геометрии, хотя и рассматривали эти предложения как невозможные.

Примерно в середине XV в. развитие математики на Востоке замедляется и постепенно прекращается. Народы этих стран надолго оказались задержанными на феодальной стадии развития, они подверглись колониальному нажиму капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и математики, в XV—XVI в. был приостановлен.

Математика европейского Средневековья и эпохи Возрождения

В Европе математики достигли важных результатов только в эпоху Средневековья, начавшуюся в XV—XVI вв. и длившуюся до середины XVII в. Это было время феодализма, в недрах которого в XV—XVII вв. зарождались капиталистические отношения. Период XV—XVI вв. называется эпохой Возрождения.

Это было время важнейших технических достижений, время великих географических открытий. В Европе появляются компас, часы, порох, дешевая бумага и книгопечатание. В связи с практическими запросами техники и мореплавания дальнейших успехов достигла математика.

Важную роль в ее развитии сыграло открытие университетов. Ученые и студенты усваивали достижения Древней Греции, стран Востока и Средней Азии.

Значительным событием было внедрение десятичной позиционной нумерации. Первоначально в Европе господствовал неудобный для вычислений способ записи чисел с помощью римских цифр; при этом вычисления проводились с помощью счетного прибора — абака. Внедрение десятичной позиционной системы позволило разработать простые правила письменных вычислений. Так записи постепенно вытесняли использование счетных приборов. Этому способствовало также изготовление бумаги и появление книгопечатания.

Развитие письменного счета в свою очередь привело к появлению сокращений и специальных символов. Прежде всего появились знаки операций: плюс, минус, знак равенства, затем знаки радикалов, обозначения для неизвестных в уравнениях. В результате этого долгого процесса, длившегося несколько столетий и в основном завершенного Р. Декартом, словесные правила были заменены формулами.

Значение этого явления в истории науки трудно переоценить. Именно с этого времени начинается собственно развитие алгебры — науки о буквенных вычислениях, о преобразовании формул, об алгебраических уравнениях, в отличие от арифметики — науки о действиях с конкретными числами.

Создание развитой символики, введение знака радикала и разработка правил операций со степенями позволили европейским ученым подойти к проблеме решения уравнений степени выше второй. Именно в этой области были получены первые значительные успехи: найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

В Италии в эпоху Возрождения было решено сначала уравнение х ³+ рх + q = 0, где р и q — произвольные числа, а затем было показано, каким образом с помощью подстановки у = х - а/3 к этому виду можно привести любое уравнение третьей степени:

у³ + ay² + by + с = 0.

Спор о приоритете в решении этой проблемы между учеными Н. Тарталья и Дж. Кардано затянулся на несколько столетий. Вскоре Л. Феррари нашел способ решения уравнения четвертой степени:

х⁴ + ах³ + bx² + cx + d = 0.

Успех итальянских математиков произвел большое впечатление на их современников. Это был первый случай, когда европейская наука превзошла достижения древних.

Ученые эпохи Средневековья получили также ряд интересных результатов в тригонометрии, которая, по существу, в то время являлась частью астрономии. Они приступили к изучению и усовершенствованию античных теорий о конических сечениях и интеграционных методов. В математике зарождалась идея функциональной зависимости.

Главное же состоит в том, что в этот период математика используется не только для практических нужд земледелия и торговли. Она становится мощным средством новой техники и естествознания — орудием изучения законов природы.

Долгий период математики постоянных величин подошел к завершению. Открылась новая эпоха — эпоха математики переменных величин, изучающей процессы движения, изменения, развития.

Дата добавления: 2014-01-03