Матричный метод решения систем линейных уравнений

Обозначим матрицу коэффициентов перед неизвестными: А = ,

вектор неизвестных: Х = , вектор свободных членов: В =

Тогда систему линейных уравнений можно записать в равносильной матричной форме:

A·X = B

 

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (т.е. ), тогда существует обратная матрица . Умножив на нее обе части уравнения, получим A^-1×A×X = A^-1×B.

Поскольку А^-1×А = Е и Е×Х = Х, находим

Х = А^-1×В

Пример. Решить матричным методом систему уравнений:

Составим матрицы A = , B = , Х = .

 

Найдем обратную матрицу А^-1:

5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30,

 

А₁₁ = = -5; А₂₁ = – = –1; А₃₁ = = -1;

А₁₂ = – А₂₂ = А₃₂ = –

А₁₃ = А₂₃ = – А₃₃ =

 

A^-1 = = ;

 

Находим матрицу Х:

Х = = А^-1В = ×= .

 

Решение системы: x =1; y = 2; z = 3.