Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование функций и построение графиков. При построении графиков функций полезно придерживаться следующего плана:


 

При построении графиков функций полезно придерживаться следующего плана:

 

1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2. Устанавливают, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0, а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0.

3. Исследуют функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.

4. Находят точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

5. Проводят исследование функции на экстремум и находят интервалы возрастания и убывания функции.

6. Находят точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Находят асимптоты графика функции.

8. Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример. Исследовать функцию y=x3-3x и построить график.

1) Функция определена на интервале (-∞; +∞). Точек разрыва нет.

2) Функция является нечетной, т.к. f(-x) = -x3-3(-x) = -x3+3x = -f(x), следовательно, она симметрична относительно начала координат.

3) Функция не периодическая.

4) Точки пересечения графика с осями координат: x3-3x=0, х = , х = -, х = 0, т.е. график функции пересекает оси координат в точках: (; 0), (0; 0), (-; 0).

5) Найдем точки возможного экстремума: у′ = 3х2-3; 2-3=0; х = -1; х = 1.Область определения функции разделится на промежутки: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Найдем знаки производной в каждом получившемся промежутке:

- на интервале (-∞; -1) у′>0 – функция возрастает

- на интервале (-1; 1) у′<0 – функция убывает

- на интервале (1; +∞) у′>0 – функция возрастает. Точка х = -1 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

6) Найдем точки перегиба: у′′ = 6х; 6х = 0; х = 0. Точка х = 0 разбивает область определения на промежутки (-∞; 0), (0; +∞). Найдем знаки второй производной в каждом получившемся промежутке:

- на интервале (-∞;0) у′′<0 – функция выпуклая

- на интервале (0; +∞) у′′>0 – функция вогнутая. х = 0 – точка перегиба.

7) Асимптот у графика нет

8) Построим график функции:

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1) Областью определения функции являются промежутки (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).



Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

2) Функция является нечетной, т.к. .

3) Функция не периодическая.

4) График пересекает оси координат в точке (0; 0).

5) Находим критические точки.

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

 

-¥ < x < -, > 0, функция возрастает

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0, функция возрастает

 

Видно, что точка х = -является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

 

6) Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

 

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-< x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

7) Найдем асимптоты кривой. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами, т.к. в них односторонние пределы равны бесконечности. Теперь найдем наклонные асимптоты.

 

Уравнение наклонной асимптоты: y = x.

 

8) Построим график функции:

 

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Асимптоты графика функции | Понятие функции нескольких переменных

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1675; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.