Основное уравнение МКТ и следствия из него

Основные положения молекулярно-кинетической теории газов.

Молекулярно- кинетическая теория газов основывается на нескольких допущениях:

1. Молекулы газа находятся на таких расстояниях друг от друга, что по сравнение с этими расстояниями можно пренебречь собственными размерами молекул и рассматривать их как точки, обладающие определенной массой (материальные точки).

2. Между молекулами идеального газа нет сил притяжения. Они ведут себя как упругие шары в пустоте и к ним применимы законы механики.

3. Молекулы находятся в состоянии вечного хаотического движения. Они движутся по всем направлениям и скорости их по абсолютной величине могут быть самыми разнообразными, но для каждой постоянной температуры средняя скорость молекул есть величина постоянная. Различают среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости. Средняя арифметическая скорость молекул газа определяется из соотношения.

_a = (1.1)

где _a - средняя арифметическая скорость; U₁, U₂, …U_n - скорости движения отдельных молекул газа; n – общее число молекул газа.

Средняя квадратичная скорость вычисляется делением суммы квадратов скоростей отдельных молекул на общее число молекул

² =

отсюда

= (1.2)

Допустим, что в кубе (рис.1.1) с длиной ребра l (эль) заключено N частиц идеального газа с Т=соnst. Согласно п.3. приведенных ранее положений в направлении каждой координатной оси движется N/3 частиц со средней квадратичной скоростью (среднее квадратичное значение величины представляет собой результат двойного усреднения). В рассматриваемом случае вначале определяют средние скорости каждой из N частиц в отдельности. Затем находят среднее значение этой средней энергии в расчете на одну из N частиц (среднее арифметическое из первых результатов).

Среднее количество движения одной частицы (импульс) с массой m согласно п.2 основных положений равно mu, а изменение количества движения ее в результате столкновения с гранью куба равно

m - (- m )=2 m

Для повторного столкновения с этой гранью частица должна пройти расстояние, равное 2l (два эль), на что требуется время .

Изменение количества движения тела (изменение импульса) согласно второму закону Ньютона равно импульсу силы, действующей на тело, т.е. 2mu =f , где – f – сила, с которой грань куба воздействует на частицу; -продолжительность периода, на который приходится одно столкновение, равная времени пробега частицы до противоположной грани и обратно.

 

 

Отсюда, сила воздействия одной частицы на грань куба равна f = / = ۰ /2l= ²/l, а сила воздействия всех частиц

газа на рассматриваемую грань куба согласно п.3 основных положений составляет: F=Nf/3=N ²/3l.

Зная, что давление – это отношение силы, действующей нормально к поверхности к площади этой поверхности, а площадь поверхности грани куба равна l², получаем: P = F/S = N ²/3l.۰l² = N ²/3l³

Но l³ – это объем куба, следовательно: PV = 1/3 N ² (1.3)

Полученное выражение указывает на связь микро- и макроскопических свойств идеального газа и называется основным уравнением кинетической теории идеального газа. Основным это уравнение называется потому что:

а) из него можно вывести все газовые законы;

б) оно показывает, что кинетическая энергия молекул газа пропорциональна абсолютной температуре:

преобразуем основное уравнение PV = 2/3 N = 2/3NE_К (1.3а)

В таком виде оно выявляет связь объема и давления еще с одним микроскопическом свойством тела – средней энергией поступательного движения его частиц E_К.

На основании равенства PV=RT (для одного моля газа) можно записать RT = 2/3N_aE_К или E_К = T۰const,

где const объединяет все постоянные величины.

в) из основного уравнения МКТ можно вывести уравнение для вычисления средней квадратичной скорости:

так как PV=RT ,то RT=1/3 N_а ², =

Так как N_am – молярная масса, значит: =

и = (1.4)

Таким образом, средняя квадратичная скорость зависит только от температуры и молярной массы.