Эквивалентные б.м. и основные теоремы о них

Если , то то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Это обозначается: α~β.

Пусть α~α´ и β~β´ при .

Теорема. Предел отношения двух б.м.ф. не изменится если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой

.

Теорема. Разность двух эквивалентных б.м.ф. есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Теорема. Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Важнейшие эквивалентности (31)

1. sin x~x при ;

2. tg x~x при ;

3. arcsin x~x при ;

4. arctg x~x при ;

5. 1-cos x~ при ;

6. e^x -1 ~x при ;

7. a^x -1 ~x ln a при ;

8. ln(1+ x) ~x при ;

9. ~ при ;

10. (1+ x) ^k -1 ~kx, k> 0 при ;

в частности, ~.

Задание. Найти предел: 1) ; 2) .

14. Символы «о» и «О»

Введём обозначения:

α (х)= О (β (х)) - бесконечно малые одного порядка,

α (х)= о (β (х)) - α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

aОтметим, что а^х - бесконечно большая (при а >1 и х ) более высокого порядка, чем x^k для любого k,

log_ax - бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х^k.

Дата добавления: 2014-01-03