Лекция № 3
Тема: «Основные теоремы о пределах»
1. Основные теоремы о пределах
2. Предел промежуточной величины
3. Второй замечательный предел. Числовая последовательность и ее предел.
4. Третий, четвертый и пятый замечательные пределы
5. Виды неопределенностей и их раскрытие
|
Т.1.1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих предел в точке
равен алгебраической сумме пределов этих функций в этой точке, т.е.
.
Т.1.2. Предел произведения конечного числа функций, имеющих предел в точке
равен произведению пределов этих функций в рассматриваемой точке
.
Т.1.3. Предел постоянной величины равен самой постоянной
.
Следствие 1: постоянный множитель можно выносить за знак предела 
Следствие 2: предел целой положительной степени функции равен той же степени предела этой функции
.
Т.1.4. Предел частного двух функций, имеющих предел в точке
равен частному от деления пределов этих функций при условии, что предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
, причем
.
Доказательство
Дано:
,
.
Доказать:
.
По второму определению предела можем записать
,
, где
- бесконечно малые величины. Рассмотрим разность
. (1) Дробь
- бесконечно малая, т.к. числитель есть алгебраическая сумма бесконечно малых величин, а знаменатель имеет предел равный
.
Следовательно
.
В силу второго определения предела и теоремы об эквивалентных бесконечно малых
.
Рассмотрим теоремы, облегчающие вычисление пределов.