Силы в зубчатом зацеплении

Лекция 4

План

1.Силы в зубчатом зацеплении.

2.Расчет зубьев на контактную выносливость.

3.Расчет зубьев на изгиб.

4.Планетарные зубчатые передачи.

Фактически, движение передаётся зубчатым зацеплением посредством силы нормального давления в точке контакта зубьев F_n , которая определяется, как интеграл от контактных напряжений s_к по всей площади S контакта зубьев F_n = ∫_s(s_к)dS.

Однако этот интеграл вычислить практически невозможно, т.к. неизвестен точный вид функции s_к.

Используют другой приём: ещё неизвестную силу нормального давления F_n сначала раскладывают на три ортогональных проекции:

è осевую силу F_a , направленную параллельно оси колеса;

è радиальную силу F_r , направленную по радиусу к центру колеса;

è окружную силу F_t , направленную касательно к делительной окружности.

Легче всего вычислить силу F_t , зная передаваемый вращающий момент М_вр и делительный диаметр d_w

F_t = 2M_Вр / d_w.

Радиальная сила вычисляется, зная угол зацепления a_w

F_r = F_t tga_w.

Осевая сила вычисляется через окружную силу и угол наклона зубьев b

F_a = F_t tgb.

Наконец, если необходимо, зная все проекции, можно вычислить и модуль нормальной силы F_n= (F_a² + F_r² + F_t²)^½= F_t /(cosα_w cosβ).

Нормальная сила распределена по длине контактной линии, поэтому, зная длину l_S контактной линии, можно вычислить удельную погонную нормальную нагрузку q_n = F_n / l_Σ ≈ F_t /(b ε_αk_ε cosα_w cosβ),

где e_a - коэффициент перекрытия, k_e - отношение минимальной длины контактной линии к средней.

Для двух цилиндрических колёс в зацеплении одноимённые силы равны, но противоположны. Окружная сила для шестерни противоположна направлению вращения, окружная сила для колеса направлена в сторону вращения.

2. Расчёт зубьев на контактную выносливость

Аналитическими методами теории прочности можно получить точное решение для вычисления напряжений в контакте двух эвольвентных профилей. Однако это слишком усложнит задачу, поэтому на малой площадке контакта геометрия эвольвентных профилей корректно подменяется контактом двух цилиндров. Для этого случая используют формулу Герца-Беляева:

Здесь Е_пр – приведённый модуль упругости материалов шестерни и колеса

Е_пр = 2 Е₁Е₂/ ( Е₁ + Е₂),

r_пр – приведённый радиус кривизны зубьев

1/r_пр = 1/r₁ ± 1/r₂, r_1,2 = 0,5d_W_1,2sin a_W ,

n - коэффициент Пуассона, q_n - удельная погонная нормальная нагрузка, [s]_H^E - допускаемые контактные напряжения с учётом фактических условий работы.

Расчёт зубьев на контактную выносливость для закрытых передач (длительно работают на постоянных режимах без перегрузок) выполняют как проектировочный. В расчёте задаются передаточным отношением, которое зависит от делительных диаметров и определяют межосевое расстояние А_w (или модуль m), а через него и все геометрические параметры зубьев. Для открытых передач контактные дефекты не характерны и этот расчёт выполняют, как проверочный, вычисляя контактные напряжения и сравнивая их с допускаемыми.

3.Расчёт зубьев на изгиб

Зуб представляют как консольную балку переменного сечения, нагруженную окружной и радиальной силами (изгибом от осевой силы пренебрегают). При этом окружная сила стремится изогнуть зуб, вызывая максимальные напряжения изгиба в опасном корневом сечении, а радиальная сила сжимает зуб, немного облегчая его напряжённое состояние.

s_A = s_изг_А- s_{сжатия А}.

Напряжения сжатия вычитаются из напряжений изгиба. Учитывая, что напряжения изгиба в консольной балке равны частному от деления изгибающего момента M_изг на момент сопротивления корневого сечения зуба W, а напряжения сжатия это сила F_r, делённая на площадь корневого сечения зуба, получаем:

.

Здесь b – ширина зуба, m – модуль зацепления, Y_H – коэффициент прочности зуба.

Иногда используют понятие коэффициента формы зуба Y_FH = 1 / Y_H.

Таким образом, получаем в окончательном виде условие прочности зуба на изгиб : s_A = q_n Y_H / m ≤ [s]_F^E.Полученное уравнение решают, задавшись свойствами выбранного материала.

Допускаемые напряжения на изгиб (индекс F) и контактные (индекс H) зависят от свойств материала, направления приложенной нагрузки и числа циклов наработки передачи [s]_F^E = [s]_F K_F K_FC / S_F; [s]_H^E = [s]_H K_H / S_H.

Здесь [s]_F и [s ]_H – соответственно пределы изгибной и контактной выносливости; S_F и S_H – коэффициенты безопасности, зависящие от термообработки материалов; K_FC учитывает влияние двухстороннего приложения нагрузки для реверсивных передач; K_F и K_H - коэффициенты долговечности, зависящие от соотношения фактического и базового числа циклов наработки. Фактическое число циклов наработки находится произведением частоты вращения колеса и срока его службы в минутах. Базовые числа циклов напряжений зависят от материала и термообработки зубьев.

Пример расчёта зубьев на контактную выносливость и на изгиб детально изложен в учебном пособии нашей кафедры [3].

Расчёт зубьев на изгиб для открытых передач (работают на неравномерных режимах с перегрузками) выполняют, как проектировочный. В расчёте задаются прочностными характеристиками материала и определяют модуль m, а через него и все геометрические параметры зубьев. Для закрытых передач излом зуба не характерен и этот расчёт выполняют, как проверочный, сравнивая изгибные напряжения с допускаемыми [42].