Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференцирование функций одной переменной


Лекция 5. Начала дифференциального исчисления.

Во многих прикладных задачах важную роль играет изучение поведения функций «в малом», т.е. в достаточно малых окрестностях каждой точки области определения. Исследование функций «в малом» составляет предмет раздела математического анализа, называемого дифференциальным исчислением.

Основной принцип дифференцирования достаточно прост. Представим себе, что функция y = f(x) такова, что ее графиком является непрерывная кривая без изломов типа разрывов 1-го рода. Если взять достаточно малый интервал оси х, примыкающий к точке х0 на котором кривая y = f(x) не очень сильно изгибается, то можно считать, что отрезок графика близок к отрезку прямой. Чем меньше интервал на оси х, тем ближе «кусочек» графика к прямолинейному. Следовательно, любая «гладкая» функция, сколь угодно нелинейная, всегда может рассматриваться на достаточно малом интервале значений аргумента как линейная. Это и есть основной принцип дифференциального исчисления.


Придадим приведенным рассуждениям более строгую форму.

 

Введя приращения аргумента и функции, можно теперь дать определение производной — ключевого понятия дифференциального исчисления.

 


Введенному понятию производной легко придать геометрический и физический смысл.


Пользуясь понятием производной, можно строго определить касательную к кривой (а ведь как трудно было дать строгое определение касательной в геометрии!).


Теперь рассмотрим физический смысл производной.


Если функция f(x) имеет смысл заряда, протекающего через поперечное сечение проводника за время х, то производная имеет смысл мгновенного значения силы тока, протекающего в момент времени х через поперечное сечение проводника.

 

 


Поскольку производная определяется как предел отношения приращений, можно ввести понятие левой и правой производных.


Определим теперь понятие дифференцируемости функции.


Опираясь на это определение, нетрудно доказать следующую теорему.


 

 


Нахождение производных, если это не оговаривается особо, основывается на определении производной. Именно,


Вычисление производных «по определению» может оказаться излишне трудоемкой процедурой, поэтому были разработаны описанные ниже правила дифференцирования, зачастую существенно упрощающие задачу.

 


5. Производная обратной функции.

 

Весьма эффективными приемами при вычислении производных являются способы вычисления производных сложной функции, функции, заданной параметрически и функции неявной.



Теперь вспомним, как мы записывали уравнение прямой, и найдем уравнения касательной и нормали к графику функции в данной точке.




Обратим внимание на то, что производная от функции сама является функцией, от которой можно брать производную. Операция может быть повторена много раз, отсюда следует вычисление производных высших порядков.



Важнейшим применением дифференцирования является разложение функций в ряд Тейлора.



Дифференцирование позволяет резко расширить возможности исследования функций и построения графиков.




 

 


 
 

 







 

 
 

В заключение приведем таблицу производных некоторых основных функций

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Организация и методика камеральной проверки налоговых деклараций | Спілкування як комунікація передбачає обмін інформацією між людьми. Виділяють вербальну і невербальну комунікацію

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 553; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. III. Коренные изменения в международной обстановке после окончания II Мировой войны
  2. XIV. ПРАВО МЕЖДУНАРОДНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
  3. Административно-правовые и экономические методы управления в области природопользования и охраны природной среды
  4. Анализ наилучшего и наиболее эффективного использования земли как свободной
  5. АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ ОПЛАТЫ ТРУДА
  6. Ассимиляционный потенциал (емкость) окружающей природной среды
  7. Биоиндикация в оценке состояния водной экосистемы
  8. В качестве главной задачи перед ООН ставилось содействие обеспечению всеобщего мира и международной безопасности.
  9. В МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛЕ
  10. В настоящее время существует больше образовательных структур, чем стран в Европе, иногда насчитывается более сотни квалификаций в одной стране.
  11. В педагогике под развитием подразумевают количественно - качественные изменения личности от одной возрастной ступени к другой.
  12. В современной теории государства и права инцестная теория используется для объяснения одной из важных предпосылок возникновения государство, но на большую роль не претендует.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.