Поле уединенной равномерно заряженной оси

Под заряженной осью понимают весьма тонкий, теоретически бесконечно длинный металлический проводник, на котором равномерно распределен заряд с линейной плотностью.

Пусть заряженная ось находится в среде с относительной диэлектрической проницаемостью. Заряд, приходящийся на единицу ее длины известен и равен. Требуется определить напряженность поля и потенциал в любой его точке, удаленной на расстояние от оси.

Pасчитаем поле в произвольной точке M с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Ось c линейным зарядом плотностью t окружим цилиндрической поверхностью произволь­нного радиуса r и длиной обра­зующей l =1 так, чтобы ось цилиндра совпала с заряженной осью. Вектор электрического смещения в силу симметрии во всех точках на боковой поверхности цилиндра (r=const) имеет одно и то же значение и направление по ра­диусу, т.е. нормально к этой поверхности.

По теореме Гаусса.

Поток вектора через торцевые поверхности цилиндра равен нулю, так как линии вектора здесь направлены по касательной к поверхности. Тогда

Откуда следует, что.

.

В цилиндрической системе координат потенциал поля зависиь только от ра­диуса.:, откуда

.

Если принять на некоторой поверхности радиуса значение потенциала равным нулю, то и значение потенциала на поверхности произвольного радиуса бу­дет равна:

.

Дата добавления: 2014-01-03