Векторное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними, то есть.

Если векторы заданы в координатной форме, то есть,, то.

Свойства скалярного произведения векторов:

1);

2);

3);

4).

C помощью скалярного произведения можно вычислить:

1) косинус угла между векторами

2) длину вектора;

3) проекцию одного вектора на другой.

Если векторы заданы в координатной форме, то

1);

2);

3).

Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: или. Из необходимого и достаточного условия параллельности двух векторов вытекает пропорциональность их координат.

Определение. Тройка векторов называется правой (левой), если из конца вектора кратчайший поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Определение. Векторным произведением и называют вектор, удовлетворяющий условиям:

1);

2);

3) векторы, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов.

Так как, то модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

Свойства векторного произведения векторов:

1);

2);

3);

4) если (необходимое и достаточное условие параллельности векторов).

Если векторы заданы в координатной форме:,, то

Задача. Найти площадь треугольника с вершинами в точках. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины B.

Решение

,;

Ответ: кв. ед,.

Дата добавления: 2014-01-03