Векторное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними, то есть .

Если векторы заданы в координатной форме, то есть , , то .

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

C помощью скалярного произведения можно вычислить:

1) косинус угла между векторами

2) длину вектора ;

3) проекцию одного вектора на другой .

Если векторы заданы в координатной форме, то

1) ;

2) ;

3) .

Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: или . Из необходимого и достаточного условия параллельности двух векторов вытекает пропорциональность их координат .

Определение. Тройка векторов называется правой (левой), если из конца вектора кратчайший поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

 

Определение. Векторным произведением и называют вектор , удовлетворяющий условиям:

1) ;

2) ;

3) векторы , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов.

Так как , то модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если (необходимое и достаточное условие параллельности векторов).

Если векторы заданы в координатной форме: , , то

 

Задача. Найти площадь треугольника с вершинами в точках . Вычислить длину высоты, опущенной из вершины B.

Решение

 

 

, ;

 

 

Ответ: кв. ед, .