Операция умножения вектора на число

Определение 20

Умножение вектора на число, свойства умножения

Операция вычитания

Определение 19

Противоположный вектор

Определение 18

Нулевой вектор

Определение 17

Ассоциативность

Правило параллелограмма.

Приложим векторы и к точке A и достроим до параллелограмма. Тогда сумма – вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, с началом в точке A.

A

(3)

B C

A D

¨ , ¨

Правило сложения n векторов

Сложить n векторов можно так: с помощью параллельного переноса перемещаем второй вектор так, чтобы его начало совпадало с концом первого, затем начало третьего совмещаем с концом второго и т. д. по аналогии. Затем начало последнего - с концом предпоследнего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец - с концом последнего, и будет искомой суммой n векторов.

n = 4

(4)

¨ по правилу треугольника

¨

Нулевой вектор есть пара совпадающих точек.

Утверждение 2

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, компланарен любой паре векторов.

(5)

где - противоположный к .

¨ Пусть ,

тогда по правилу треугольника.

Проверка: . ¨

Обозначение:

Говорят, что

, (6)

если будучи приложенным к концу вектора , его конец будет совпадать с концом ,причём начало совпадает с началом .

B

A C

Пусть задан вектор и . Тогда

, (7)

если:

1)

2)

3) , .

Свойства операции умножения вектора на число

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов.

(8)

¨ I. не коллинеарен , , .

ABDC – параллелограмм, построенный на векторах и .

Пусть ,

B`

B

A D D`

C

C`

AB`D`C ` - параллелограмм, построенный на векторах и - подобен параллелограмму ABDC с коэффициентом подобия .

AB`D’C ` - параллелограмм

( – докажите самостоятельно)

II. коллинеарен , , .

A` B’ C`

(по двум углам), т.к. , то коэффициент подобия равен .

(по двум углам) .

(по двум углам), т.к. , то коэффициент подобия равен

В остальных случаях рассуждения аналогичны. ¨

6. Дистрибутивность относительно сложения чисел.

(9)

Возможны следующие случаи:

¨

¨

7. Ассоциативность умножения вектора на число

(10)

¨

1)

2)

¨

Дата добавления: 2017-01-14