Основы теории

Ряд полезных соотношений может быть получен с помощью математического аппарата лучевой теории, пренебрегающего конечностью длины волны света и нелинейными эффектами.

Если на торец ступенчатого волокна (рис. 9.1) из среды с показателем преломления n0 поступает поток излучения, то по за­кону отражения - преломления совместно для поверхностей торца и границы сердцевина - оболочка

где — показатели преломления сердцевины и оболочки -световода. Это прямо следует из соотношений и Обычно излучение приходит из воздуха тогда

где и - соответственно абсолютная и относительная разности показателей преломления сердцевины и оболочки. Изгиб световода приводит к тому, что угол между лучом и границей раздела сердечник — оболочка возрастает и угловая апертура уменьшается. Используя ту же схему расчета и учитывая, что радиус изгиба - диаметр сердцевины), получаем, что снижение числовой апертуры до 90% от своего, первоначального значения произойдет при

Окончательное выражение в (9.4) получено при При типичных мкм и имеем

Определение г_{изг.мин} условно: за критерий принято в ряде случаев допустимыми являются большие или меньшие отклонения от для неизогнутого световода, при этом изменяется и г_{изг.мин}. Отметим также, что по (9.4) определяют только исходя из условия изменения апертуры; практически Более чувствительными к изгибу могут оказаться дисперсионные эффекты или характеристики, связанные с механиче­ской прочностью волокна.

Рис. 9.1. Ход световых лучей в ступенчатом световоде до (1) и после (2) изгиба

Применительно к градиентному световоду расчеты по лучевой теории для малых углов падения дают траекторию луча в виде периодической функции (в простейшем случае синусоиды), причем в общем случае значение периода зависит от координаты и угла вода. Однако при достаточно малом практически для любого конкретного закона изменения n периоды для всех лучей оказываются одинаковыми, т. е. осуществляется условие самофокусировки. Для типичных градиентных световодов с период самофокусировки около

Лучевая теория позволяет провести полу количественную оценку и межмодовой дисперсии. Из рис. 9.1 видно, что для двухслойного световода разница времен распространения центрального осевого луча и луча с на единичной длине

(9.5)

где c - скорость света; L км; , мкс/км. Последнее равенство в (9.5) получено для ; таким образом, для типичного ступенчатого световода с имеем нс/км.

Выражение (9.5) определяет верхнюю границу постоянной времени волноводной дисперсии (всегда (, конкретное значение которой зависит от закона углового распределения, интенсивности света (т. е. от относительного вклада отдельных лучей).

Более детальную информацию о закономерностях распространения излучения в волокне дает волновая (или модовая) теория, базирующаяся на строгом решении системы уравнений Максвелла. При этом волокно моделируется как цилиндрический диэлектрический волновод. Преобразование общего уравнения показывает, что число каналируемых (направляемых) мод, поддерживаемое в двухслойном волноводе со ступенчатым показателем преломления,

где V - приведенная групповая скорость распространяющегося излучения с длиной волны λ

Анализ (1.27) показывает, что лишь одна мода (так называемая TE₀ мода) может поддерживаться световодом при любых, значениях V (в лучевой теории этой моде соответствует луч с); прочие моды могут существовать лишь при -

Таким образом, неравенство есть условие существования одномодового режима, которое для ступенчатого световода приобретает вид:

Одномодовый режим тем легче реализовать, чем больше λ и меньше NA

Дадим несколько численных оценок (9.6) — (9.8). Входящее в эти формулы значение λ относится к материалу световода; когда же говорится о длине волны излучения лазера, то имеется ввиду ее значение для воздуха. При переходе от воздуха к сердечнику длина волны излучения уменьшается в n1 раз. С учетом сказанного получаем, что в типичном двухслойном световоде с dc = 50 мкм и NA=0,2 при λ=0,8мкм число направляемых мод 2000. Для реализации в световоде одномодового режима для.лазерного излучения с λ =1,3 мкм требуется при 0,1 диаметр сердечника 7 мкм.

Анализ частных решений волнового уравнения (волноводных мод) показывает, что они описываются функциями, монотонно спадающими (обычно экспоненциально) к периферии сердечника, но в то же время не обрывающимися на границе сердечник оболочка (рис. 9.2). Иными словами, направляемые моды частично просачиваются в оболочку, т. е. отражение происходит не на геометрической поверхности раздела, а в некоторой приповерхностной области (рис. 9.2,а). Расчет показывает, что для направляемых мод с малыми углами падения (распространяющихся при малых значениях доля мощности, переносимая по оболочке, может быть значительной: для моды приV =1 она составляет 70%, а при V=2,4 — всего 16%. Характерно и то, что при V= 1 поле -моды проникает в оболочку на глубину порядка Отсюда, в частности, следует важность чистоты не только сердечника, но и оболочки для маломодовых (и особенно одномодовых) волокон, а также необходимость доста­точно большого диаметра оболочки

Расчет дисперсии. Основное практическое приложение модовой теории - это расчет дисперсионных характеристик волокон различного типа. Наиболее наглядные выражения удается получить при анализе расплывания σ-импульса. Так, интегрированием решения волнового уравнения для многомодового двухслойного -ступенчатого световода получено

(9.9)

Используя переводное соотношение (9.1), получаем что согласуется с качественными представлениями лучевой теории.

Дисперсия градиентного световода зависит от конкретного вида функции Обычно при расчетах задаются следую щей формулой,

Рис. 9.2. «Просачивание» каналируемого излучения в оболочку:

а - модель лучевой теории; б — модовая структура поля для ТЕ0 и ТЕ1-мод

удовлетворительно описывающей практические все возможные типы существующих градиентных световодов:

где - относительная разность показателей преломления; — постоянный для данного вида световода показатель, которым можно управлять технологически; - показатели преломления центра сердцевины и оболочки.

Для наиболее распространенного случая параболического изменения показателя преломления (при когда (9.10) принимает вид )

где Детальные оценки показывают, что случай не является оптимальным; наибольшее приближение к самофокусировке достигается при

При этом

Характерно, что для

градиентных световодов дисперсионные константы пропорциональны , тогда как для волокон со ступенчатым профилем показателя преломления они пропорциональны; При условии становится очевидным преимущества градиентных волокон. Численные оценки по (9.9)-(9.13) пока­зывают, что при приведенное уширение импульса составляет 20 нс/км для двухслойного световода, 130 и 15 пс/км для градиентного параболического ( = 2) и оптимизированного' (»1,97). Отсюда следует, в частности, что оптимизация дос­тигается лишь при очень высокой точности реализации требуе­мого значения

Минимальные приведенные значения экспериментально полу­чить не удается из-за дисперсии материала. Приведенная к еди­нице длины постоянная времени материальной дисперсии приб­лизительно одинакова для всех волноводных мод и зависит лишь от ширины спектра излучения и дисперсионных свойств мате­риала:

Используя (9.1), можно при необходимости перейти от Экспериментальная дисперсионная кривая для кварца, легированного фосфором (материал сердечника практически всех основ­ных типов световодов для ВОЛС), представленная на рис. 9.3,. показывает, что при λ≈3 мкм =0 и соответственно = 0. Именно этим прежде всего и определяется значимость спек­тральной области вблизи λ =1,3 мкм.

Расчет показывает, что в многомодовых световодах эффекты шнутримодовой дисперсии оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с другими видами искажений и, в частности, с дис­персией материала. Поэтому, переходя к общей оценке, внутри-.модовую дисперсию не учитываем.

Рассмотренные эффекты — волноводная и материальная дис­персия — действуют одновременно; решение задачи уширения им-лульса при этом резко усложняется: наряду с членами, которые приводят к значениям и появляется еще суперпозиционный член . В первом приближении можно считать, что суммарное уширение импульса

Характерно, что не соответствуют в точности значениям, получаемым из (9.11), (9.13), (9.14). Приведенные на рис. 9.4 расчетные кривые иллюстрируют сказанное и позволяют сделать следующие выводы: при учете двух механизмов дисперсии значение заметно сдвигается относительно точки , в градиентном световоде, возбуждаемом светодиодом, уширение им­пульса почти полностью определяется материальной дисперсией -и оптимизация профиля заметных преимуществ не дает; в оптимизированном многомодовом градиентном световоде, возбуждаемом монохроматическим лазером, дисперсионное уширение.импульса может быть снижено до 15 пс/км (теоретический пре­дел).

Рис. 9.3. Спектральная характеристика дисперсии кварца

Рис.9.4. Теоретическая зависимость от параметра градиентного световода:

1 — учитывается только модовая дисперсия; 2— =15 нм (светодиод); 8 — = 1 нм (инжекционный лазер); 4— = 0,2 нм (лазер с распределенной обратной связью); кривые 2—4 рассчитаны для =0,9 мкм

Отметим еще один очень важный для дисперсионных расчетов эффект — связь мод в многомодовых световодах. Выше предполагалось, что отдельные моды (или лучи с разными углами падения) распространяются по волокну независимо друг •от друга и не смешиваются. Естественно, что идеализация и на­личие в реальном световоде тех или иных нерегулярностей (флук­туации состава и соответственно величины п, непостоянства гео­метрии, микроизгибов, нарушений на границе раздела сердцеви­на— оболочка и т. п.) приводят к «перекачке» энергии между модами. В представлениях геометрической оптики это значит, -что луч с углом падения преломившись на неоднородности, меняет угол распространения на Возможность проявления этого эффекта становится очевиднее, если вспомнить, что на 1 км пути укладывается около 10⁹ длин волн света и в то же время происходит более 10⁶ актов отражения светового луча от границы сердцевина — оболочка. Связь или смешение мод приводит ж тому, что часть энергии медленных мод переходит в быстрые.и наоборот; это ведет к некоторому выравниванию времен рас­пространения медленных и быстрых мод — в итоге дисперсия уменьшается. Математическое описание явления в общем виде «очень сложное, важнейший результат смешения мод состоит в •следующем:

где — характеристическое расстояние, на котором устанавли­вается постоянный модовый состав. Дисперсионное размытие све­тового импульса «набегает» не пропорционально длине световода L, а пропорционально т. е. значительно слабее. Величина L0 может быть определена лишь экспериментально, она тем больше, чем совершеннее световод, и может достигать десятков километров. Естественно, что при сохраняется прежний закон:

Дата добавления: 2017-01-14