Аналитическая геометрия и преобразования плоскости

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Направленные отрезки. Геометрические векторы. Длина вектора. Коллинеарные, равные, противоположные векторы.

2. Линейные операции над векторами и их основные свойства.

3. Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств.

4. Простейшие свойства векторных пространств.

5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости и независимости. Основная теорема о линейной зависимости.

6. Базис и размерность векторного пространства. Примеры векторных пространств различной размерности.

7. Координаты вектора в данном базисе. Координатные строки суммы двух векторов и произведения числа на вектор.

8. Теорема о базисе в n-мерном векторном пространстве.

9. Скалярное произведение геометрических векторов и его связь с длинами и углами. Скалярный квадрат. Основные свойства скалярного произведения.

10. Ортогональные векторы. Нормированный вектор. Ортонормированный базис геометрических векторов плоскости и пространства. Формула скалярного произведения в ортонормированном базисе.

11. Ортонормированность базиса, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле . Вычисление координат вектора в ортонормированном базисе.

12. Аффинная система координат плоскости (аффинный репер). Аффинные координаты точки плоскости. Простейшие задачи.

13. Простое отношение трех коллинеарных точек. Вычисление аффинных координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

14. Формулы преобразования координат векторов и точек плоскости.

15. Декартова система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками плоскости в декартовой системе координат. Формулы преобразования декартовых координат точек плоскости при параллельном переносе и повороте системы координат.

16. Понятие об уравнении плоской кривой. Две основные задачи теории плоских кривых. Пример окружности.

17. Направляющий вектор прямой. Параметрическое представление прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой по двум точкам.

18. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Теорема о направляющем векторе прямой, заданной общим уравнением.

19. Три случая расположения двух прямых на плоскости. Теорема о взаимном расположении двух прямых, заданных общими уравнениями и следствия из нее.

20. Полуплоскости относительно данной прямой. Критерий принадлежности двух точек одной полуплоскости относительно прямой, заданной общим уравнением. Геометрический смысл линейного неравенства.

21. Вектор нормали прямой. Вектор нормали прямой, заданной общим уравнением в декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

22. Формула расстояния от точки до прямой в декартовой системе координат.

23. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями в декартовой системе координат. Пример.

24. Полярные координаты на плоскости. Их связь с соответствующими декартовыми координатами.

25. Коническое сечение. Фокус и директриса конического сечения. Теорема об отношении расстояния точки конического сечения до фокуса к расстоянию этой точки до директрисы.

26. Второе определение конического сечения. Эксцентриситет. Эллипс, парабола, гипербола.

27. Уравнение конического сечения в полярных координатах.

28. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай параболы.

29. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай эллипса.

30. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай гиперболы.

31. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

32. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.

33. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению.

34. Фокальные свойства эллипса.

35. Фокальные свойства гиперболы.

36. Фокальные свойства параболы.

37. Биссекториальное свойство конических сечений. Теорема о касательной к коническому сечению.

38. Оптические свойства конических сечений.

39. Диаметры конических сечений. Сопряженные диаметры. Главные диаметры.

40. Кривые 2-го порядка. Примеры.

41. Теорема о классификации кривых 2-го порядка. Схема доказательства.

42. Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к упрощенному виду.

Дата добавления: 2017-01-14