Теорема о связи Б.Б.Ф. и Б.М.Ф

Й замечательный предел

Т-ма о пределе промеж. ф-ции

Св-ва сходящихся посл-тей

1.Теорема «Об единственности пределов»:

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

2. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

3. Теорема «Об арифметических дейсьвиях»:

а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b

б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b

в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0

4. Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся,

т.е. имеет пределы.

#3 Предел функции: говорят что существует lim(x®a)f(x)=A Û когда существует окр-ть (e;A) такая что "окр-ти(d;A) $ окр-ть(0) (d;A) "xÎокр-ть(0) (d;A)Þf(x)Îокр-ть(e;A)

Предел ф-ции в точке Пусть ф-ция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Число А наз пределом ф-ции в точке x₀, если для "e>0 найдется такое d>0, что для всех x¹x₀, удовл. нер-ву

|x-x₀|<d, вып. нер-во | f (x) - A|<e. lim _x®x0 f (x) = A.

Предел ф-ции на бесконечности Пусть ф-ция y=f(x) определена в промежутке (-¥; ¥). Число А наз. пределом ф-ции f(x) при x®¥, если ("e>0 $М(e)>0, "x: |х|>М Þ |f(x) - А| < e) Û

lim_x®¥ f(x)=А.

Пусть $ lim _x®x0 j₁ (x) =А, $ lim _x®x0 j₂ (x) =А(1⁰), "x: j₁ (x)<= j (x)<= j₂ (x)(2⁰), $ lim _x®x0 j (x) =А.

lim _x®0 sin x/x =1

#4 Бесконечно малые функции

Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке

равен 0 из этого определения вытекает

следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение

б/м ф- ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-

цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0,

а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=>

j(х)a(х)®0 при х®х0

Если a(x)-бмф(a¹0), то ф-ция 1/a(x)-ббф и наоборот.

Д-во: пусть a(x) – бмф при x ® x₀, т.е. lim_x®x0a(x)=0. Тогда

("e>0 $d>0 "x: 0< |x-x₀| <d Þ |a(x)|< e),

т.е. |1/a(x)|>1/e(=М).

#6 Т. о втором замечательном пределе:

Явл. обобщением известного предела о посл-ти.

Справедливо сл. предельное соотношение:

lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)

lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)

t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) =>

lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)

#7 Сравнение роста Б.м.: u(x),v(x)-б.м. при x®a lim(x®a)u(x)/v(x)(*)

(*)=0 u(x)-б.м. более высокого порядка чем v(x)

(*)=¥ - v(x)-б.м. более высокого порядка

(*)=const u(x) и v(x) – одного порядка малости

(*)=1 u(x)»v(x) x®a

Если $ m>0 что lim(x®a)u(x)/[v(x)]^m=k u(x)-б.м. порядка m по сравнению с v(x)

Если (*) не сущ то u(x) и v(x) не сравнив

Эквивалентность бесконечно малых:

Если lim(x®a)a(x)/b(x)=1 то a(x)»b(x) x®a

Основные эквивалентности 1 зам. предела:

sinx»x tgx»x arcsinx»x arstgx»x 1-cosx»x²/2

Эквивалентность бесконечно больших:

lim(x®a)u(x)/v(x)=1 u(x)»v(x) x®a

Основные эквивалентности 2 зам. предела:

e^x-1»x a^x-1»xlna ln(1+x)»x (1+x)ⁿ-1»nx

#8 Т. о разности эквивалентных Б.м.:

Если a(x)»b(x); a(x),b(x)-б.м. при x®a то

a(x)-b(x) – б.м. более высокого порядка чем каждая из них

О разности экв б.м.(д-во):

Для того чтобы a(x)»b(x) необходимо и достаточно чтобы a-b=o~(a(x))

Д-во:

Необх: a(x)»b(x)Þlim(x®a)(a(x)/ b(x))=1Þa/b-1=g; g-б.м при x®aÞa-b=g*b- б.м. более высокого порядка.

Дост: a-b=o(b (x)); a/b-1=o(b)/b(перейдем к пределу) lim(x®a)[a(x)/ b(x)-1]= lim(x®a)[ o(b (x))/ b(x)]=0 по опр б.м. более высокого порядка.

Т. о замене эквивалентных в пределе отношения:

a(x)»a1(x); b(x)»b1(x)Þlim(x®a)a(x)/b(x)= lim(x®a)a1(x)/b1(x) при x®a

#9 Непрерывность ф-ции в точке

Пусть ф-ция y = f (x) определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки. *Ф-ция y = f (x) наз. непрерывной в точке x₀, если существует предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке,т.е. lim_x®x0 f (x) = f (x_o). Это рав. Озн. Вып-е 3-х усл.: 1)f(x) определена в точке x₀ и в ее окрест. 2)f(x) имеет предел при x®x₀ 3)предел ф-ции в точке x₀ равен знач. ф-ции в этой точке, т.е. вып. равенство lim_x®x0 f (x) = f (x_o). Т.к. lim_x®x0x₀ = x₀, то lim_x®x0 f (x) = = f (lim_x®x0x)= f (x₀). **Ф-ция y = f (x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в точке x₀ и ее окрестности и вып. рав-во lim_Dx®0Dy =0, т.е. беск. малому приращ. арг. соотв. беск. малое приращ. ф-ции.

#10 Непрерывность функции на отрезке: функция y=f(x) наз-ся непрерывной на [a,b] если она удовлетворяет определению непрерывности в каждой внутр точки этого отрезка внутри а также сущ lim(x®a+)f(x)=f(a) и

lim(x®b-)f(x)=f(b)

Связь диф с непрерывностью: если функция диф в т x₀ то она непрерывна в этой точки.

Д-во: Ñf=AÑx+o~(Ñy); lim(Ñx®0) Ñf= lim(Ñx®0) (AÑx+o~(Ñx))=0 Ñf – БМ при Ñx®0!!!!Из диф следует непрерывность!

#11 Точки разрыва и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность ф-ции, наз. точками разрыва этой ф-ции. Если x=x₀-точка разрыва ф-ции y=f(x), то в ней не выполняется хотя бы одно из условий 1-го определения непрер. ф-ции: 1) ф-ция опред. в окр. x₀, но не опред. в самой x₀. 2)ф-ция опред. в x₀ и ее окр., но не сущ. предела f(x) при x®x₀. 3)ф-ция опред. и $ lim_x®xo f (x), но lim_x®xo f (x)¹ f (x₀). В точке разрыва 1-го рода x₀ сущ. одностор. пределы, т.е. lim_x®x0-0f(x)=A₁ lim_x®x0+0f(x)=A₂ , при этом: а)А₁=А₂Þ x₀ – точка устранимого разрыва.

б) А₁¹А₂Þ x₀ – точка конечного разрыва. |А₁-А₂|- скачок ф-ции В точке разрыва 2-го рода x₀ хотя бы один одностор. предел не сущ. или равен ¥. Класс.: Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва;точкир-рыва1-го,и 2-го рода. а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач.в др.т-ках,то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

#12 Производная числа (x₀) наз-ся число f’(x₀)=lim(Ñx®0)(f(x₀+Ñx)-f(x₀))/ Ñx

Геометрический смысл: производная в точке равняется tg угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Механический смысл: S`(t)=v(t)

#13 Связь непрер-ности и дифференцируемости

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она

непрерывна в этой т-ке, причем имеет место

разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)=

f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)- б/м ф-ия при

Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3)

верно, что из него сразу следует что при Dх®0

Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому

осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из

определения (2) и связи предела с б/м =>, что $

б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx)

отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx.

Пример: Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е.

y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае

Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-

но это отношение равно 0,=>значит эго отн-ние=0.

# 16 Т.о производной сложной функции: пусть y=f(u(x))-сложная функция и пусть u(x) – диф в т x а f(u) – диф в т u тогда:

y=f(u(x)) – так же диф в т x а ее производная вычисляется по формуле: y’=f’_u(u)*u’_x(x)

Т. о производной обратной функции:

Пусть y=f(x) диф и монотонна на (a b). Пусть т x₀Î(a b) и f’(x₀)¹0. Тогда в т y₀=f(x₀) определена диф функция g(y) которую называют обратной к f(x) а ее производная вычисляется по формуле: (g(y))’=1/f’(x₀)

#17 Дифференциал: диф. функции y=f(x) в данной т. x соответствующим приращением Dx называют главную относительную Dx часть приращения этой функции в т.x

Дифференциалом функции Z называется главная линейная часть приращения функции

Adx + Bdy = (Dz/Dx)dx + (Dz/Dy)dy Из условия дифф. Функции в Р0 следует сущ. касат.

плоскости к поверхности Z = f(x,y)

Геометрический смысл: приращение

кординаты касательной. Dy=f’(x₀)dx; f’(x₀)=tga

Инвариантность:

с=const dc=(c)’dx=0 2.U(x),V(x)Î D (x) d[au(x)+b(v(x)]= adu(x)+ bdv(x) 3.d(u(x)v(x))=v(x)au(x)+u(x)dv(x) 4.d(u/v)=[(vdu-udv)/v²]

#18 Теорема Ролля.

Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0. Геом. cмысл т Ролля: Если функция удв условиям теор. Ролля то сущ. Точка С на [a,b];касательная в этой точке параллельна оси X.

Теорема Ролля д-во: По св-у непрерывности функции max и min достигаются во внутр. точке отрезка.

#19 Теорема Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c). Геом.смысл теоремы Лагранжа:Если F (x) удв. усл. т.Лагранжа то сущ.хоть 1 точка С такая что касательная в этой точке || стягивающей хорде. Теорема Лагранжа д-во: Построим q(x)=f(x)-hx и этот “h” введём так чтобы для q(x) выполнялось усл. Т.Ролля.

q(a)= q(b),f(a)-ha=f(b)-hb тогда f(b)-f(a) =h, т.к.

b-a

q(x) удв усл. Т. Ролля то найдётся точка

принадл. [a,b];q’ (c)=0. q’ (x)=f ‘ (x) – h.Тогда есть q’ (c)=f ‘ (c)-h=0,тоесть сущ. Т. С:f ‘ (c)=h

Тогда f (b)-f(a) =f ‘ (c)

b-a Теорема Коши.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на

(a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка

сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-

f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

Теорема Коши д-во: построим вспомогат. Функцию q(x) = f(x)-hg(x) (q(x) удв. Теореме Ролля) q(a)=q(b);

f(a)-hg(a)=f(b)-hg(b) тоесть h(g(b)-g(a))=f(b)-f(a); подберём h так чтобы h= f(b)-f(a)

g(b)-g(a)

По теореме Ролля для q(x) следует что сущ. точка С на [a,b],q’(c)=0’;q’(x)=f ‘(x)-hg’(x)

Тоесть q’(c)=f ‘(c)-hg’(c)=0 следовательно f(b)-f(a) = f ‘ (c) g(b)-g(a) g ‘ (c)

#20 Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если

lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то

lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x),

когда предел $ конечный или бесконечный.

Раскрытие ¥/¥. Второе правило.

Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то

lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x).

Правила верны тогда, когда

x®¥, x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.

Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем

Дата добавления: 2017-01-14