Дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Математичне сподівання випадкової величини

Числові характеристики випадкових величин – це числа, що характеризують випадкові величини, якщо закон розподілу невідомий.

До числових характеристик належать математичне сподівання та дисперсія.

Математичним сподіванням M(x) дискретної випадкової величини називають число, яке дорівнює сумі добутків всіх значень випадкової величини на ймовірності появи цих значень:

Математичне сподівання називають ще середнім значенням випадкових величин, оскільки воно вказує деяке середнє число, навколо якого групуються всі значення випадкової величини. У практичній діяльності під математичним сподіванням розуміють центр розподілу випадкової величини.

Властивості математичного сподівання:

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій: М(С) = С.

2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань: .

3. Математичне сподівання добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань: .

4. Постійний множник можна виносити за знак математ. сподівання: М (С×Х) =С×М(Х).

Характеристиками розсіювання можливих значень випадкової величини навколо математичного сподівання є дисперсія та середнє квадратичне відхилення.

Дисперсією дискретної випадкової величини D(Х) називається сума добутків квадратів різниць можливих значень випадкової величини та її математичного сподівання на відповідні цим можливим значенням ймовірності: ,

Дисперсію зручно обчислювати за формулою:

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія сталої величини С дорівнює нулю: D (С) = 0.

2. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій:

.

3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, підносячи його до квадрату: D (С×Х) = C²×D (Х).

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають квадратний корінь із дисперсії: .

Теорема. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення на відрізку [a,b] та має щільність ймовірності f(x), то її математичне сподівання знаходиться за формулою:

Дисперсію обчислюють за формулою:

Приклад. Знайти числові характеристики випадкової величини X, яка задана функцією розподілу:

Розв'язання. Спочатку знайдемо диференціальну функцію розподілу, тобто щільність ймовірності :

Дата добавления: 2017-01-14