ТИ – это табличное отражение работы логической схемы, в которой представлены все возможные комбинации значений входных сигналов и соответствующие им значеия выходных сигналов

Основные понятия

Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания.

Логическое высказывание - это любое утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Создателем алгебры логики является английский математик Джордж Буль.

Алгебра логики оперирует с логическими переменными, которые могут принимать только два значения – «истина», «ложь», которые обозначаются 1 и 0.

В алгебре логики используются три основные операции – И, ИЛИ, НЕ.

Для реализации этих операций на аппаратном уровне разработаны три логические схемы, которые также называются – И, ИЛИ, НЕ.

С помощью этих элементов можно реализовать любую логическую функцию.
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности (ТИ).

Логический элемент ИЛИ предназначен для реализации функции: выходной сигнал равен 1, если хотя бы один из входных сигналов равен единицы. Входных сигналов может быть два и более, выход только один.

Условное обозначение на схеме

Для обозначения логической операции ИЛИ используется знак V, операция называется логическое сложение, или дизъюнкция. Примеры записи: С = А V В C = А или В

ТИ

А	В	С

Логический элемент И предназначен для реализации функции: выходной сигнал равен 0, если хотя бы один из входных сигналов равен нулю. Входных сигналов может быть два и более, выход только один.

Условное обозначение на схеме

Для обозначения логической операции И используется знак & (/\), операция называется логическое умножение, или конъюнкция. Примеры записи: С = А & В С = А /\ В C = А и В

ТИ

А	В	С

Логический элемент НЕ предназначен для получения входного сигнала противоположного входному. Элемент имеет один вход и один выход.

Условное обозначение на схеме

Для обозначения логической операции НЕ используется знак , операция называется отрицание или инверсия Примеры записи: A= не В Элемент НЕ имеет название инвертор.

ТИ

А	В

Законы логики

Для преобразования логических выражений с целью приведения их к нормальной форме используют законы логики. Некоторые из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Логические выражения	Алгебраические выражения
Закон коммутативности (переместительный)
А /\ В = В /\ А А V В = В V А	А* В = В * А А + В = В + А
Закон ассоциативности (сочетательный)
(АVВ) V С = А V (В VС) (А/\ В) /\ С = А /\ (В /\С)	(А+В)+С = А + (В+С) (А*В)*С= А*(В*С)
Закон дистрибутивности (распределительный)
(А V В) /\ С = (А /\ С) V (В /\ С) (А/\ В) V С= (АV С) /\ (В VС)	(А+В) *С= (А*С) +(В*С) аналога нет
Законы де Моргана, или инверсии
Закон отрицание отрицания:
Закон непротиворечия (высказывание не может быть одновременно истинным и ложным)
Закон исключенного третьего
Операции с константами
А V 0=А А V 1= 1	А /\ 0 = 0 А /\ 1=А
Законы идемпотентности
A \/ A = A	A /\ A = A
Законы поглощения
A /\ (A \/ B) = A	A \/ (A /\ B) = A
Преобразование импликации
Преобразование эквивалентности

Правила выполнения операций в сложных логических выражениях:

1. выполняются действия в скобках

2. затем выполняются операции в порядке приоритетности:

1) инверсия 2) конъюнкция 3) дизъюнкция

	Упрощение логических выражений
	Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул: 1) (законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами); 2) (применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией); 3) (повторяетсявторойсомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания)   4) (вводится вспомогательный логический сомножитель (); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения); 5) (сначаладобиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания); 6) (выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами); 7) (к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания); 8) (общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией); 9) (используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции); 10) (используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

Дата добавления: 2015-07-13