Двугранный угол

Перпендикулярность прямой и плоскости.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.

4. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

5. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

6. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

7. Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

8. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

9. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то

а) перпендикуляр короче наклонных;

б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;

в) большей наклонной соответствует большая ортогональная проекция;

г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой больше.

10. Теорема об угле прямой с плоскостью. Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой и плоскости.

11. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

12. Геометрическое место точек, удаленных на данное расстояние от данной плоскости, есть две параллельные плоскости.

13. Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника перпендикулярно его плоскости.

1. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки на ребре двугранного угла.

2. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудаленных от его граней, есть биссекторная плоскость.

3. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей. Две плоскости перпендикулярны (образуют прямой двугранный угол) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

4. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости.

Задания.

Вариант 1	Вариант 2
1.Плоскость α проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD – точки M и N. а) Докажите, что AD||α. б) Найдите BC, если AD=10см., MN=8см.	1. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. M и N – середины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN||α б) Найдите AD, если ВС=4 см., MN=6с
2.Прямая MA проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. а) Докажите, что MA и BC – скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если МАD=45^0.	2. Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС, E и F – середины отрезков АВ и ВС. а) Докажите, что CD и EF – скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если DCA=60^0
3.Длина стороны ромба ABCD равна 5см, длина диагонали BD равна 6см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, ОК=8см.	3.Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК=12см.
4.На одной грани двугранного угла взята точка А на расстоянии 10см от ребра и из нее опущен перпендикуляр АВ на другую грань. Найдите длину АВ, если двугранный угол равен 60^0.	4.Двугранный угол равен 60^0. Точка М, расположенная на одной грани двугранного угла, находится на расстоянии 12 см от другой грани. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
5.Дан прямоугольник ABCD, точка М не лежит на плоскости прямоугольника, МА=МВ=МС=MD=5 см, АВ=8см, ВС=6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости прямоугольника и площадь треугольника АМС.	5.Из центра О квадрата ABCD восстановлен перпендикуляр ОМ=2 см, АВ=8 см. Найдите периметр треугольника АМС.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.

2. Как могут располагаться две прямые в пространстве?

3. Как могут располагаться прямая и плоскость? Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости и признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Как могут располагаться две плоскости? Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей и признак перпендикулярности двух плоскостей.

5. Что такое перпендикуляр и наклонная? Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

6. Что такое двугранный угол?

Дата добавления: 2015-07-13