Свойства

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Задача. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ со сторонами основания AB = 3, AD = 4 и высотой

AA₁ = 12. Найдите диагональ AC­₁.

Решение:

Рассмотрим АСС₁:

С = 90°, => АСС₁ – прямоугольный, СС₁ = АА₁, => АС₁² = АС² + СС₁² или

АС₁² = АС² + АА₁² (1)

Рассмотрим АВС:

В = 90°, => АВС – прямоугольный, ВС = AD, => АС² = АВ² + ВС² или

АС² = АВ² + AD² (2)

Подставим (2) в (1): АС₁² = АВ² + AD² + АА₁²

Найдём АС₁: АС₁² = 4³ + 3² +12² =169, АС₁ = = 13

Ответ: АС₁ = 13.

Задания

Вариант 1.

1. Изобразите: треугольную призму, параллелепипед, пятиугольную призму.

2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10см и 24см, а высота параллелепипеда равна 10см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 3см, 4см и 12см.

Вариант 2.

1. Изобразите: куб, прямоугольный параллелепипед, семиугольную призму.

2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 1см, 2см и 2см.

Контрольные вопросы

1. Что называется многогранником?

2. Какой многогранник называется призмой?

3. Какая призма называется прямой?

4. Какая призма называется правильной?

Дата добавления: 2015-07-13