Модифікований метод Ейлера

Метод Ейлера

Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку виду.

(4)

Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки

(5)

Якщо мале, то, знехтувавши членам розкладу, що містять в собі і т.д. отримаємо

(6)

Похідну знаходимо з рівняння (4), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Цей процес можна продовжувати, використовуючи співвідношення.

,

роблячи як завгодно багато кроків.

Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях.

Недолік методу Ейлера - нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.

В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної.

В модифікованому методі Ейлера спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера.

(7)

Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу .

Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення :

(8)

В обчислювальній практиці використовується також метод Ейлера-Коші з ітераціями:

1) знаходиться грубе початкове наближення (за звичайним методом Ейлера)

2) будується ітераційний процес

(9)

Ітерації продовжують до тих пір, доки два послідовні наближення не співпадуть з заданою похибкою . Якщо після декількох ітерацій співпадіння нема, то потрібно зменшити крок .

Дата добавления: 2017-01-13