Теория вероятностей и теория приближения функций

Теория чисел и распределение простых чисел.

В теории чисел Чебышёв начал работать в 40-х годах прошлого века. Началось с того, что академик Буняковский привлек его к комментированию и изданию сочинений Эйлера по теории чисел. Одновременно Чебышёв готовил монографию по теории сравнений и ее приложениям, чтобы представить ее в качестве докторской диссертации. К 1849 году обе эти задачи были выполнены и соответствующие работы опубликованы. В качестве приложений к своей «Теории сравнений» Чебышёв опубликовал мемуары «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины».

Проблема распределения простых чисел в ряду чисел натуральных - одна из самых старых в теории чисел. Она известна со времен древнегреческой математики. Первый шаг к ее решению сделал Евклид, доказав теорему, что в натуральном ряду имеется неограниченно много простых чисел. До тех пор, пока Эйлер не привлек средства математического анализа, ее решение практически не продвигалось. Новое доказательство, по существу, не давало нового результата, но включало новые методы. Идея доказательства Эйлера такова: из конечности множества простых чисел следует сходимость гармонического ряда, т.к. он тогда представляется как произведение конечного числа геометрических прогрессий. Лишь в 1837 году Дирихле обобщил теорему Евклида, доказав, что в любой арифметической прогрессии {a+nb}, где a и b взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. В период 1798-1808 годов Лежандр, изучив таблицы простых чисел до миллиона, вывел эмпирически, что число простых чисел в отрезке [2,х] p(x) выражается формулой x/p(x)=ln x - 1.08366. Чебышёв доказал, что формула Лежандра неточна, исследовав свойства функции p(x) и показал, что истинный порядок роста этой функции тот же, что функции x/ln x. Более того, им были найдены уточнения: отношение заключено между 0.92129 и 1.10555. Открытие Чебышёва произвело очень большое впечатление. Многие математики работали над улучшением его результатов. Сильвестр в своих статьях 1881 и 1892 годов сузил границы промежутка до [0.95695, 1.04423]. Дальнейших сужений добились Шур (1929) и Брейш (1932).

Чебышёв нашел также интегральные оценки для значений p(х). Ему удалось доказать, что с ростом х значение p(х) колеблется около. Только в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен доказали следующую предельную теорему. Уже в близкое нам время (1949) Сельберг нашел другое доказательство этой асимптотической закономерности. В 1955 году А. Г. Постников и Н. П. Романов упростили громоздкие рассуждения Сельберга.

К теории вероятностей Чебышёв обратился еще в молодые годы, посвятив ей магистерскую диссертацию. В те времена в теории вероятностей имел место своеобразный кризис. Дело в том, что основные закономерности этой науки были в основном найдены еще в XVIII веке. Имеется в виду закон больших чисел; предельная теорема Муавра-Лапласа - предельный закон вероятностей отклонения числа x появлений случайного события от математического ожидания, a этого числа при n опытах с вероятностью p; введение понятия дисперсии. Осознание широкой приложимости этих закономерностей привело к попыткам применить их даже к социальной практике людей, т.е. за пределами обоснованной области допустимых приложений. Это вызвало большое число путаных, необоснованных и ошибочных выводов, что отразилось на научной репутации теории вероятностей. Без солидного обоснования понятий и результатов дальнейшее развитие этой науки сделалось невозможным.

Чебышёв написал по теории вероятностей всего 4 работы (1845, 1846, 1867, 1887 гг.), но, по всеобщему признанию, именно эти работы вывели теорию вероятностей снова в ранг математических наук, послужили основой для создания новой математической школы. Исходные позиции Чебышёва проявились уже в его магистерской диссертации. Он ставил перед собой цель дать такое построение теории вероятностей, которое в наименьшей степени привлекало бы аппарат математического анализа. Этого он достигал, отказываясь от предельных переходов и заменяя их системами неравенств, в которых заключены все соотношения. Числовые оценки отклонений и погрешностей остались характерными особенностями и последующих работ Чебышёва по теории вероятностей.

Однако достаточно общее и строгое доказательство центральной предельной теоремы Чебышёву удалось найти только к 1887 году. Для ее доказательства Чебышёву пришлось найти метод, известный в современной литературе как метод моментов. Доказательство Чебышёва имело логический пробел, устраненный учеником Чебышева А. А. Марковым (1856-1922).Марков и другой ученик Чебышёва, А. М. Ляпунов (1857-1918), своими работами настолько далеко развили идеи учителя, что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь их работы всюду воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего развития теории вероятностей, не исключая современного. В их трудах получили развитие метод моментов (Марков) и метод характеристических функций (Ляпунов). Особенно заслуживает того, чтобы быть отмеченной, теория марковских цепей.

Значительное место в трудах Чебышёва занимает теория приближения функций. Эта группа работ примечательна большим теоретическим последствием, которое привело к возникновению современной конструктивной теории функций. Последняя изучает, как известно, зависимости между свойствами различных классов функций и характером их приближения другими, более простыми функциями в конечной или неограниченной области. Во время заграничной научной командировки 1852 года Чебышёв заинтересовался различными видами шарнирных механизмов, с помощью которых осуществляется преобразование прямолинейного поступательного движения поршня паровой машины в круговое движение маховика (или наоборот). Одной из разновидностей подобных механизмов является широко известный параллелограмм Watt’а.

Чебышёв за свою жизнь построил много механизмов и исследовал их кинематику. Возникающие при этом экстремальные задачи (типа расчета механизма с минимальным отклонением какой-то его части от вертикали) приводят к математическим задачам теории приближения функций. Наиболее удобной для оперирования в математике функцией является полином. Отсюда вытекают задачи определения полиномов, уклоняющихся от нуля, а также аппроксимирования функций полиномами (1854, «Теория механизмов, известных под названиями параллелограммов»). Рассмотрим, например, такую задачу: среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом, равным 1, найти многочлен с минимумом максимума модуля на отрезке [-1,1]. Решение: это многочлен Чебышёва Pn = cos(n arccos x)/(2n-1). То, что старший коэффициент его равен 1 (и вообще — что это многочлен) следует из рекуррентной формулы Pn+1(x)= x Pn(x)-1/4 Pn-1(x),а то, что он имеет минимум максимума модуля, - оценивая количество перемен знака — а, следовательно, и корней — у многочлена Pn(x)-Q(x), где Q(x) — многочлен с максимальным значением модуля l/2n-1, l<1.

Чебышёв нашел вид класса специальных полиномов, носящих его имя и в наши дни. Полиномы Чебышёва, Чебышёва - Лагерра, Чебышёва - Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций полиномами прилагается к геодезическим и картографическим задачам (1856, «О построении географических карт»), приближенным квадратурам, интерполяциям, решению алгебраических уравнений, не говоря уже о кинематике механизмов, послужившей ее исходным пунктом. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов, теории моментов и методов квадратур. Ортогональные многочлены Чебышев связал с методом наименьших квадратов.

Дата добавления: 2017-01-13