КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Матвиенко В.А. 2 страница
, которое равно среднему полупериодному значению . Действующее значение периодического колебания равно среднему квадратическому значению за период колебания . Поскольку мощность пропорциональна квадрату тока, то очевидно, что действующее значение периодического тока равно постоянному току, который эквивалентен по выделяемой мощности. Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующими значениями. Для характеристики формы периодических колебаний используют такие понятия как коэффициент формы и коэффициент амплитуды . Эти коэффициенты чаще всего используют в электроизмерительной технике для пересчета показаний приборов. 1.6. Среднее, средневыпрямленное и действующее значения Найдем среднее значение гармонического тока : . Но . Тогда . Принимая во внимание, что , получим . Этот результат может быть получен сразу из геометрического смысла определённого интеграла. Найдем средневыпрямленное значение гармонического тока, которое равно среднему полупериодному значению:
Найдем действующее значение гармонического тока . Учитывая, что или , получим . Но . Тогда действующее значение гармонического тока = ≈ 0,707 Im. Коэффициент амплитуды гармонического колебания k а = ≈ 1,41. Коэффициент формы гармонического колебания k ф = ≈ 1,11. Если действующее значение гармонического напряжения U = 220 В, то амплитуда гармонического напряжения Um = 1,41 U = 1.7. Спектральное представление периодических сигналов Как известно из курса математики, любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е. кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [ ‑π, π]), может быть представлена рядом Фурье. Пусть периодический сигнал s (t) с периодом T отвечает условиям Дирихле. Тогда он может быть представлен рядом Фурье , коэффициенты которого a 0, an и bn определяются по формулам: , , . Частоту называют основной частотой. Итак, в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный ряд гармонических колебаний (гармоник), частота которых кратна основной частоте. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой ψ n: , где , . С учетом этих соотношений ряд Фурье можно представить в следующем виде: . (1.1) Совокупность амплитуд An, отложенных в функции частоты, образует амплитудную спектральную диаграмму сигнала s (t) (рис. 1.15). Совокупность начальных фаз ψ n, отложенных в функции частоты, образует фазовую спектральную диаграмму сигнала s (t) (рис. 1.16). Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала являются линейчатыми или дискретными. В зависимости от формы сигнала s (t) амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю. Представим ряд Фурье в комплексной форме записи, для чего распишем косинус в выражении (1.1) по формуле Эйлера. Получим . В последнем выражении каждую из экспонент запишем в виде произведения двух экспонент. Тогда . Но есть не что иное, как комплексная амплитуда , а ‑ величина ей комплексно сопряженная : . Знак минус в показателе экспоненты можно отнести к номеру гармоники n. Полагая, что постоянная составляющая сигнала s (t) представляет собой нулевую гармонику (n = 0), окончательно находим . Получим формулу для вычисления коэффициентов комплексного ряда Фурье . Подставим выражения для коэффициентов ряда Фурье . Распишем косинус и синус по формулам Эйлера: . Каждый из интегралов представим в виде алгебраической суммы двух интегралов: . После приведения подобных членов окончательно получим: . Амплитудный спектр, соответствующий комплексному ряду Фурье, симметричен относительно нулевой частоты (рис. 1.17), а фазовый спектр симметричен относительно начала координат (рис. 1.18). 1.8. Спектральное представление непериодических сигналов Пусть периодический сигнал s (t) представляет собой одиночный импульс произвольной формы, заданный на отрезке [ t 1, t 2], за пределами которого s (t) = 0 (рис. 1.19). Чтобы непериодическую функцию s (t) можно было представить рядом Фурье, доопределим ее так, чтобы она стала периодической. Полученную периодическую функцию s пер(t) можно представить рядом Фурье , коэффициенты которого . Умножим и разделим каждый член ряда Фурье на πω1. Тогда ряд Фурье можно записать в виде . По определению основная частота . Тогда . Выражение в квадратных скобках представляет собой частотный интервал между составляющими ряда Фурье, равный частоте повторения ω1: . С учетом сказанного ряд Фурье можно переписать в следующем виде: . Подставим выражение для : . (1.2) Но исходная функция s (t) равнялась нулю всюду, за исключением отрезка времени [ t 1, t 2], а функция s пер(t) отлична от нуля не только на отрезке [ t 1, t 2]. Чтобы вернуться к исходной непериодической функции s (t), устремим период T функции s пер(t) к бесконечности. При T → ∞: · периодическая функция s пер(t) стремится к исходной непериодической функции s (t); · модули комплексных амплитуд гармоник уменьшаются, стремясь к нулю: ; · частотный интервал между линиями спектра уменьшается, стремясь к нулю, , т. е. дискретный спектр превращается в сплошной; · . Функцию (1.3) называют спектральной плотностью, спектральной характеристикой или просто спектром непериодической функции s (t); · операция суммирования в выражении(1.2) превращается в операцию интегрирования. Итак, при T → ∞ получим: . (1.4) Преобразование, определяемое формулой (1.3), называют прямым двухсторонним преобразованием Фурье. Прямое преобразование позволяет перейти от представления сигнала во временной области s (t) к его представлению в частотной области S (j ω). Преобразование, определяемое формулой (1.4), называют обратным преобразованием Фурье. Оно позволяет перейти от представления сигнала в частотной области S (j ω) к его представлению во временной области s (t). Оба представления сигнала (временное и спектральное) несут полную информацию о сигнале и в этом смысле являются эквивалентными. Согласно обратному преобразованию Фурье непериодический сигнал s (t) представляет собой совокупность бесконечной суммы гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от ‑ ∞ до + ∞. Рассмотрим соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов такой же формы, для чего сравним выражение для спектральной плотности одиночного импульса с выражением для комплексной амплитуды n -ой гармоники соответствующего периодического колебания: , . В точках ω = n ω1 . Из сопоставления S (j ω) и следует, что , т. е. модуль спектральной плоскости одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности импульсов той же формы, совпадают по форме и отличаются только мас 1.9. Единичные функции и их свойства Рассмотрим сигнал, описывающий линейный переход из нулевого состояния в единичное за время Δ t (рис. 1.21) Если параметр Δ t устремить к нулю, то в пределе переход от нулевого состояния в единичное будет происходить мгновенно (рис. 1.22). Такой предельный сигнал называют единичным скачком, функцией включения или функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд, английский физик, 1850 – 1925 г.). Математическая модель функции включения имеет вид: 1(t) = 0, t < 0; В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t 0 (рис. 1.23). В аналитическом виде смещенную функцию включения можно записать следующим образом: 1(t – t 0) = 0, t < t 0; Функцию включения удобно использовать для аналитического представления различных воздействий, значение которых изменяется скачком в момент коммутации: s (t)∙1(t – t 0) = 0, t < t 0; Например, включение источника постоянного напряжения с ЭДС E можно описать следующим образом: e (t) = E ∙1(t – t 0). Другой пример, включение источника гармонического напряжения e (t) = 1(t – t 0) E cos(ω t + ψ). Воздействие в виде прямоугольного импульса может быть представлено как разность двух одинаковых скачков, сдвинутых во времени на длительность импульса Δ t (рис. 1.24): s (t) = s 1(t) – s 2(t) = = Sm 1(t – t 0) – Sm 1(t – t 0 – Δ t) = = Sm [1(t – t 0) – 1(t – t 0 – Δ t)]. Рассмотрим прямоугольный импульс с единичной площадью (рис. 1.25). Устремим длительность импульса к нулю, при этом амплитуда импульса будет стремиться к бесконечности. Предельную функцию, имеющую бесконечно малую длительность, бесконечно большую амплитуду и единичную площадь, называют единичным импульсом, δ- функцией или функцией Дирáка. Итак, δ(t) = 0, t ≠ 0; δ(t) = ∞, t = 0, причем . В общем случае δ-функция может быть смещена относительно начала отсчета времени. Тогда δ(t – t 0) = 0, t ≠ t 0; δ(t – t 0) = ∞, t = t 0. Временную диаграмму δ-функции условно принято изображать как показано на рис. 1.26. Установим связь между δ-функцией и функцией включения Если проинтегрируем обе части равенства, то получим: , т. е. δ-функция представляет собой производную функции включения, а функция включения – интеграл от δ-функции. Найдем спектр δ-функции = 1, т. е. спектр δ-функции равномерен во всей полосе частот (рис. 1.27). Найдем спектр функции включения. Поскольку функция 1(t) не абсолютно интегрируема, то к ней не может быть применено преобразование Фурье. Применим преобразование Фурье к произведению 1(t) e‑ α t, которое абсолютно интегрируемо. Тогда = . Как видно из рис. 1.28, энергия функции включения сосредоточена в основном вблизи нулевой частоты.
Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 492; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |