КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Производная сложной функции. Примеры решений
Фундаментальные отрасли психологии разрабатывают общие проблемы и изучают общие закономерности психики, проявляющиеся у людей вне зависимости оттого, какой деятельностью они занимаются. В силу универсальности знания фундаментальных отраслей психологии объединяют термином«общая психология». Структура психологии как наука. Психология на современном уровне развития представляет собой весьма разветвленную систему научных дисциплин, подразделяющихся на фундаментальные и прикладные. Общая психология исследует индивида, выделяя в нем психические познавательные процессы и личность. Психология познавательных процессов изучает такие психические процессы, как ощущения, восприятие, внимание, память, воображение, мышление, речь. В психологии личности исследуется психическая структура личности и психические свойства личности, определяющие дела и поступки человека. Помимо общей психологии, психологическая наука включает в себя целый ряд специальных психологических дисциплин, находящихся на разных ступенях формирования, связанных с различными областями человеческой жизни и деятельности. Среди специальных отраслей психологии, изучающих психологические проблемы конкретных видов деятельности, выделяют: психологию труда, педагогическую психологию, медицинскую психологию, юридическую психологию, военную психологию, психологию торговли, психологию научного творчества, психологию спорта и т.д. Психологические аспекты развития изучают возрастная психология и психология аномального развития. Психологические аспекты отношений личности и общества исследует социальная психология. Теория и практика обучения и воспитания подрастающего поколения тесно связана как с обшей психологией, так и со специальными отраслями психологии.
Научной основой для понимания законов психического развития ребенка являются генетическая, дифференциальная и возрастная психология. Генетическая психология изучает наследственные механизмы психики и поведения ребенка. Дифференциальная психология выявляет индивидуальные различия между людьми и объясняет процесс их формирования. В возрастной психологии исследуются этапы психического развития индивидуума. Для психически грамотной организации воспитания нужно знать психологические закономерности взаимодействия людей в группах, таких, как семья, ученический и студенческий коллективы. Взаимоотношения в группах являются предметом изучения социальной психики. Психология аномального развития имеет дело с отклонениями от нормы в поведении и психике человека и крайне необходима при педагогической работе с детьми, отстающими в психическом развитии. Педагогическая психология объединяет всю информацию, связанную с обучением и воспитанием. Предмет педагогической психологии — психологические закономерности обучения и воспитания человека. Разделами педагогической психологии являются: § психология обучения (психологические основы дидактики, частных методик, формирования умственных действий); § психология воспитания (психологические основы воспитания, психологические основы исправительно-трудовой педагогики); § психология учебно-воспитательной работы с трудными детьми; § психология учителя. Для современной психологии характерен как процесс дифференциации, порождающий многочисленные специальные отрасли психологии, так и процесс интеграции, в результате которого происходит стыковка психологии с другими науками, например, через педагогическую психологию с педагогикой.
Пример 1 Найти производную функции Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией. Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике. Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией : Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае: Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем. Ну и совершенно очевидно, что Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая: Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: Готово Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 2 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3 Найти производную функции Как всегда записываем: Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция: Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется: Готово. Пример 4 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так? Пример 5 а) Найти производную функции б) Найти производную функции Пример 6 Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид: Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы: Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять). Пример 7 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет необычно. Вот характерный пример: Пример 8 Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз: Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть. До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций. Пример 9 Найти производную функции Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе? Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение: Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат : И, наконец, семерку возводим в степень : То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция. Начинаем решать Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени: Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение: Готово.
Пример 10 Найти производную функции Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу : В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило : Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 443; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |