Розвязування задач.

Поділ відрізка в заданому відношенні

.

Нехай маємо дві точки і потрібно знайти точку на відрізку , яка ділить його у відношенні

Координати точки шукаємо за формулами

У випадку поділу відрізку пополам отримаємо відому формулу

Задача 1. Заповніть пропуски.
• Три попарно перпендикулярні прямі х, у, z, які перетинаються в точці О називаються … осями.
• Вісь х називається віссю …, вісь у називається віссю …, вісь z називається віссю ….
• Точка О - ….
• Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі - …, позначену стрілкою, і ….
• Площини ху, хz, уz називають … площинами.
• … точки записуватимемо в дужках поряд із позначенням точки А (х; у; z;).
• Точки на осі х мають координати (…)
• Точки на осі у мають координати (…)
• Точки на осі z мають координати (…)
• Точки площини ху мають координати (…)
• Точки площини уz мають координати (…)
• Точки площини хz мають координати (…)

Задача 2. Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин. Малюнок куба і система координат з початком в точці O. Переміщуючи початок координат в іншу вершину, розглянути варіанти знаходження координат вершин куба.
1. Як знайти координати середини відрізка, заданого в просторі?
2. Як знайти відстань між двома точками простору?
3. Заповнити таблицю.

Задача 3.

Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А (5; -3; 2), В(9;-1; 3), С (12; -5; -1), D(8; -7; -2).
Розв’язання.
Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником (ознака прямокутника). Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм.
Отже, щоб довести, що чотирикутник АBCD, заданий координатами вершин, є прямокутником, треба:
- перевірити, що діагоналі точкою перетину діляться навпіл (тобто координати середини діагоналей однакові);
- перевірити, що діагоналі рівні.
Знайдемо координати середини діагоналі АС точки О за формулами

Координати середини діагоналей BD і АС однакові. Отже, АBCD - паралелограм. Тепер доведемо, що паралелограм АBCD є прямокутником. Перевіримо рівність діагоналей BD і АС. Знайдемо довжину діагоналі АС за формулою:

Знайдемо довжину діагоналі BD.

АBCD - паралелограм з рівними діагоналями, отже АBCD – прямокутник.

Задача 4.

Точка М (2; 8; 5) – середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі ОZ і в площині ХУ. Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
Розв’язання
Нехай точка М (2; 8; 5) – середина відрізка АВ. За умовою точка А знаходиться на осі OZ, отже її координати А (0; 0; z). Точка В знаходиться в площині ХУ, отже її координати В (х; у; 0).
За формулами координат середини відрізка:

Отже, координати кінців відрізка АВ: А (0; 0; 10), В (4;16;0). Знайдемо довжину відрізка АВ за формулою:

Задача 5.

Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А (6; -3; 2) і В (2; 4; -1).
Нехай точка Х лежить на осі z, отже її координати Х (0; 0; z). За умовою точка Х рівновіддалена від точок А і В, отже

Знайдемо довжину відрізка АХ за формулою:

Отже, Х (0, 0, )

Дата добавления: 2017-02-01