Теми-проекти з курсу НОШКМ

( для поглибленого опрацювання

і підготовки презентацій )

для студентів 1-го року магістратури

1. Відношення і відображення в ШКМ

• Основні поняття.
• Відношення еквівалентності і класифікація.
• Відношення порядку.
• Інші відношення та їх властивості
• Основні поняття.
• Основні види відображень у шкільній математиці.
• Морфізми структур і операції над відображеннями в ШКМ.

5. Функції у шкільній математиці.

• Способи задання функцій.
• Неперервні функції в ШКМ.
• Елементарні функції.
• Показникова функція й ізоморфні відображення. Властивості показникової функції. Інші підходи до поняття показникової функції.
• Тригонометричні функції. Тригонометричні функції і повороти площини. Тригонометричні функції і диференціальні рівняння.

6. Алгебраїчні операції та алгебри.

• Алгебраїчні операції, обернені алгебраїчні операції.
• Алгебраїчні операції в ШКМ.
• Алгебри, типи алгебр.
• Основні типи алгебр в ШКМ.

7. Алгебраїчні вирази та їх перетворення. Рівняння.

• Алгебраїчні вирази.
• Степені і кратні.
• Одночлени і комутативні напівгрупи.
• Кільце многочленів.
• Алгебраїчні вирази в ШКМ.
• Рівняння.

8. Натуральні числа. Аксіоматика Пеано. Упорядковане півкільце натуральних чисел. Натуральні числа в ШКМ.

9. Додатні дійсні числа.

• Аксіоматика множини додатних скалярних величин, її несуперечність, категоричність.
• Множина додатних дійсних чисел.

10. Векторна побудова геометрії.

• Аксіоматика Вейля, її несуперечність та категоричність.
• Пряма, півпряма, відрізок, площина, півплощина.
• Вимірювання довжин і кутів.
• Рухи.
• Аксіоматика Вейля і шкільна геометрія.

11. Метрична побудова геометрії.

12. Вимірювання геометричних величин.

• Загальне означення величини.
• Безпосереднє вимірювання величин.
• Вимірювання об’ємів.
• Довжина кривої.
• Площа поверхні.

13. Логіка шкільної математики

• Математична мова, математичні знаки.
• Алфавіт шкільної математики, алгебри, геометрії, початків аналізу. Формули.

• Математичні речення в шкільній математиці, логічна еквівалентність і логічне слідування, повне логічне формулювання.
• Означення в математиці. Номінальні та реальні означення. Означуване і означаюче. Коректні і некоректні означення. Існування і єдиність. Аксіоматичні означення. Класичні означення. Рекурсивні означення.

• Доведення в шкільному курсі математики. Формальні і змістові доведення. Правила слідування. Непряме доведення. Доведення методом математичної індукції.

Рекомендована література.

1. Абрамов А. М. Логические основы курса геометрии восьмилетней школы. М., НИИ школ Минпроса РСФСР, 1974.

2. Биркгоф Г., Барти Ф. Современная прикладная алгебра. - М., Мир, 1976.

3. Болтянский В.Г., Милин Н.Я. О преподавании геометрии на основе векторной аксиоматики. — Математика в школе, 1975, № 2.

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Пер. с франц. - М., ИЛ, 1963.

5. Бурбаки Н. Теория множеств. Пер. с франц. М., Мир, 1965.

6. Вернер А.Л., Франгулов С.А., Юзвинский С.А. Аксиоматическое построение геометрии (по Колмогорову). Л., ЛГПИ, 1978.

7. Виленкин Н.Я. Математика, 4—5 классы (теоретические основы). М., Просвещение, 1974.

8. Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с немец. - М., ГТТИ, 1948.

9. Горский Д.П. О видах определений и их значений в науке. Сб.: Проблемы логики научного познания. - М., Наука, 1964.

10. Донеддю А. Евклидова планиметрия. Пер. с франц. – М., Наука, 1978.

11. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. - М., Просвещение, 1978.

12. Клейн Ф. Элементарная математика з точки зрения высшей: В 2-х томах. Т.1 Арифметика. Алгебра. Анализ, Т.2. Геометрия. – М.: Наука, 1987

13. Клини С. Математическая логика. Пер. с англ. - М., Мир, 1973.

14. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. - М., Наука, 1977.

15. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. - М., Просвещение, 1967.

16. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с англ. - М., Мир, 1970.

17. Линдон Р. Заметки по логике. Пер. с англ. - М., Мир, 1968.

18. Малько Л.Т. Из опыта построения курса стереометрии на основе системы аксиом Г. Вейля. — Математика в школе, 1973, № 4.

19. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М., Наука, 1970.

20. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., Наука, 1965.

21. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. - М., Советское радио, 1979.

22. Попа К. Теория определений. Пер. с румын. - М., Прогресс, 1976.

23. Рогановский Н.М., Столяр А.А. Векторное построение стереометрии. - Минск, Народна асвета, 1974.

24. Рогановский Н.М., Столяр А.А. Основы современной школьной математики. - Минск, Народна асвета, 1975, ч. I; 1977, ч. 2.

25. Рыбников К. А. Введение в методологию математики. - М., Изд-во МГУ, 1979.

26. Рыжик В. И. Из опыта преподавания стереометрии на основе аксиом Вейля. — Математика в школе, 1974, № 4.

27. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. - М., Просвещение, 1968.

28. Люсьенн Феликс. Элементарная математика в современном изложении. Пер. с франц. - М., Просвещение, 1967.

29. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М., Мир, 1966.

30. Фрейденталь X. Язык логики. Пер. с англ. - М., Наука, 1969.

31. Черч А. Введение в математическую логику. - М., ИЛ, 1960, т. I.

32. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. - М., Наука, 1965.

33. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М., Наука, 1971.

34. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. - М., Мир, 1974.

Дата добавления: 2017-02-01