Основи теорії моделювання

Контрольні запитання

1. У чому полягають основи оптимального проектування?

2. Які задачі вирішуються при створенні оптимальних конструкцій елементів машин?

3. У чому полягає питання оптимального синтезу елементів машин?

4. У чому полягає принцип золотого перерізу в інженерній практиці?

5. Назвіть п'ять принципів закономірності і системності.

6.1 Підготовка об’єкта дослідження

Підготовка об’єкта дослідження – досить відповідальна і трудомістка операція. Для підготовки промислового об’єкта (агрегату) необхідно відповідно до прийнятої методики оснастити його дослідницьким устаткуванням, намітити й обладнати місця відбору параметрів, що визначають роботу промислового агрегату, механізувати і, якщо можливо, автоматизувати експериментальні роботи, домовитися про регламент проведення досліджень, а також про технічну допомогу.

При детальному вивченні явища або процесу в лабораторних і напівпромислових умовах підготовка об’єкта полягає в виготовленні стенда на основі моделювання. Останнє дозволяє з найменшими витратами і з високим ступенем вірогідності одержати узагальнений експериментальний матеріал, придатний для промислових агрегатів, детальні експерименти на яких ставити складно або практично неможливо.

6.2 Поняття об’єкта і його моделі

Моделювання засноване на подобі процесів і явищ, що протікають у різних агрегатах. Уперше теорему про механічну подобу сформулював Ньютон у 1636 р. Істотний внесок у розвиток теорії моделювання внесли вчені різних країн: Ейлер, Фур’є, Бертран, Коші, Рейнольдс, Фруд і ін.. У Росії автор класичних праць по теорії подоби академік В.Л. Кирпичов у 1874 р. сформулював і довів третю теорію подоби. У 1911 р. викладач Петербурзького політехнічного інституту А. Федерман довів теорему. З якої основана π- теорема виводиться як наслідок (теорема Беклінгема).

З погляду фізичною природи моделюємих явищ розрізняють два види подоби: математичну (однакова форма рівнянь, що описують фізично різнорідні явища) і фізичну (однакова фізична природа подібних явищ).

По повноті відповідності моделі натурі зазначені подоби поділяються на абсолютну (вимагає тотожності явищ); повну (здійснюється в часі та просторі); неповну (у часі або в просторі) і наближену (зв’язану з допущеннями, що спрощують, які наперед відомі й оцінюються кількісно).

По природі явищ фізичну подобу можна розділити на механічну (сума кінематичної, матеріальної і динамічної подоб), газодинамічну, теплову, електричну, фізико-хімічну та ін.

Усі види подоби підкоряються трьом теоремам.

Перша теорема подоби вказує на необхідність умови подоби і формулює властивості подібних систем, явища або системи називаються подібними, якщо рівні їхні відповідні критерії подоби, складені з параметрів системи.

Друга теорема подоби (π-теорема) доводить можливість приведення рівняння процесу до критеріального вигляду: Функціональний зв’язок між величинами, що характеризують процес, може бути представлений у вигляді залежності між складеними з них критеріїв подоби.

Третя теорема подоби показує межі закономірного поширення одиничного досліду: необхідними і достатніми умовами подоби є пропорційність вхідних, параметрів, що входять в умови однозначності L _H = μ _L L _M, V _H = μ _V V _M, I _H = μ _T T _M, і рівність критеріїв подоби досліджуваного в натурі і на моделі явища. До умов однозначності відносяться незалежні від механізму явища фактори системи: геометричні властивості; фізичні параметри; початкові умови; початковий стан; граничні або крайові умови; взаємодія з зовнішнім середовищем.

6.3 Визначення критеріїв подоби

При вивченні технологічних процесів, які часто моделюються, основні критерії подоби відомі. Наприклад, , – критерій Рейнольда; – критерій Ньютона, де V – швидкість, d – характерний діаметр, m – маса, ν – кінематична в’язкість.

Для невивчених процесів вони визначаються двома основними способами: інтегральних аналогів (якщо відомо рівняння процесу) і способом, заснованим на π-теоремі. В останньому випадку досить знати тільки параметри процесу [1].

Спосіб інтегральних аналогів заснований на властивості фізичних рівнянь – однакової розмірності всіх їхніх членів. Критерії подоби знаходять у такий спосіб. Нехай мають два однакових рівняння, що описують фізичний процес у натурі і моделі:

(6.1)

де φ – однорідна функція параметрів елементів системи і процесу.

Рівняння натурального і моделюємого процесів у результаті ділення на один із членів приводиться до безрозмірного виду:

(6.2)

Після того в них опускають символи диференціювання й інте­грування (якщо рівняння диференціальні або інтегральні). Отримані комплекси вважаються основними критеріями подоби:

(6.3)

Спосіб заснований на π-теоремі, більш загальний і в порівнянні з першим володіє рядом переваг, основним з яких служить можливість знаходження критеріїв без використання рівняння процесу тому що, більшість явищ, що проходять у промислових та сільськогосподарських агрегатах, математично не описані.

Нехай процес характеризується параметром Р, на який впливають фактори р _і:

Р = f (p ₁, p ₂, …, p_n) (6.4)

Розмірність факторів дана в основних одиницях: маса [ М ], довжина [ L ] і час [ Т ].

Кожна з основних одиниць зведена у визначені показники степенів. Наприклад, об'єм – м³; прискорення сили тяжіння м/с² і т.д. Показники степенів позначаємо так: μ_і для маси, λ_i для розміру, τ_і для часу. Тоді розмірність фактора запишемо так

. (6.5)

Виберемо три основних фактори:

(6.6)

у розмірності яких обов'язково входять маса (наприклад, у першому факторі | μ ₁| > 0), довжина (у другому | λ ₂| > 0) та час (в третьому | τ ₃| > 0). Тобто система є визначеною тому що, кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь, а визначник, складений з показників степенів, не дорівнює нулю:

. (6.7)

Розділимо рівняння (6.4) на добуток обраних трьох факторів (6.6) у деяких невідомих степенях α, β, γ, необхідних для досягнення безрозмірності критеріїв. Одержимо:

. (6.8)

Перші три члени перетворюються в одиницю, а інші – у критерії подоби, кількість яких дорівнює п – 3, де п – число параметрів процесу:

(6.9)

Значення показників степенів α, β, γ визначаємо з умови, що комплекси (критерії подоби) які входять у рівняння (6.8) – безрозмірні величини, або добуток їх розмірностей дорівнює одиниці:

(6.10)

У цьому випадку показники степенів при розмірностях дорівнюють нулю.

(6.11)

Вирішуючи таку систему трьох рівнянь для кожного комплексу, визначаємо числові значення α, β, γ. Підставляємо показники степенів у комплекси (6.8) і одержуємо критерії подоби досліджуваного процесу.

Із знайденими критеріями можна робити математичні операції: перемножувати їх, ділити один на інший або на яке-небудь число. Числові значення, підраховані за знайденими критеріями для моделі та натури повинні бути однаковими (idem):

(6.12)

Крім цих умов, відповідно з третьою теоремою подоби необхідно дотримуватися умови однозначності: геометрична подоба, подоба фізичних властивостей матеріалів і т.д. За наявними критеріями подоби для натури обчислюють параметри моделюємого процесу. Коли відомі основні параметри і розміри, приступають до виготовлення фізичної моделі, на якій роблять серію поставлених експериментів з метою відпрацювання методики дослідження.

Якщо витримати рівність усіх критеріїв подоби неможливо, то шукають функціональний зв'язок між ними на моделі і визначають автомодельну область, у якій критерії практично не залежать один від одного. У цьому випадку досить витримати один критерій, інший буде дотримуватися автоматично.

6.4 Приклад знаходження критеріїв подоби для побудови фізичної моделі процесу

Визначити основні розміри і параметри моделювання завантаження і розподілу зерна при його зсипанні з конуса для сушки.

Виберемо масштаб для моделі засипного пристрою, з огляду на те, що вона повинна забезпечити зручність проведення досліджень і достатню точність експерименту. Необхідно, щоб при цьому витрати були мінімальні. Відомо, що маса матеріалів знаходиться в кубічній залежності від масштабу моделі. Якщо маса матеріалів, які завантажуються т _Н = 2000 кг, а маса матеріалів, що моделюються на стенді т _М = 2 кг то масштаб моделі (М) складає:

, (6.13)

Параметри моделювання визначається згідно співвідношень, поданих у табл. 6.1

Рух та матеріалів в натуральному та модельному пристроях масою т на шляху L під дією сили F підпорядковується диференціальному рівнянню:

. (6.14)

Таблиця 6.1 – Параметри моделювання

Параметр	Величина параметра	Формула обчислення
Натура	Модель
Маса матеріалів завантаження, кг
Час зсипання матеріалів, с:		0,948683
Висота сушильного агрегату, м		2,4
Кутова швидкість обертання, 1/с	0,6	1,897367

Всі члени цього рівняння ділимо на перший член та не будемо враховувати знаки диференціювання. Одержимо:

. (6.15)

Рівняння однорідне. Критеріїв повинно бути на один менше кількості членів рівняння. Цей критерій відповідно з першою теоремою подоби для натури та моделі називається критерієм Ньютона, або критерієм механічної подоби.

Дата добавления: 2017-02-01