Вступ до теорії катастроф

Перші відомості про теорію катастроф з’явилися приблизно у 1970 році і за своїм впливом на механіку зрівнялися з винаходом Ньютоном диференціального та інтегрального обчислювання. Теорію катастроф стали з успіхом застосовувати при опису стійкості пружних арок, моделюванні мозку і психічних відхилень, поведінки біржі, соціальних потрясінь, поведінки системи «хижак-жертва» і т.п.

Катастрофою звичайно називають стрибкообразні зміни, які виникають у вигляді раптового відгуку системи на плавні зміни зовнішніх умов. Джерелом теорії катастроф є теорія особливостей гладких відображень Уітні і теорія біфуркацій динамічних систем Пуанкаре та Андронова.

Теорія особливостей Уітні. У 1955 році американський математик Уітні розробив теорію особливостей гладких відображень.

Відображення поверхні на площину (рис. 10.1-10.2)– це зіставлення кожній точці поверхні точки площини. Відображення поверхні на площину оточує людину з усіх сторін. Достатньо навести приклад видимих контурів тіл – це проекція поверхонь, які обмежують тіло, на сітківку ока. Тут ми розглянемо дві основні особливості теорії Уітні.

Перша особливість, вона названа складною, виникає при проектуванні сфери на площину у точках екватора.

Рисунок 10.1 – Схема проектування сфери на площину

Рисунок 10.2 – Схема проектування площини на площину

Біфуркація положень рівноваги. Еволюційний процес математично описується векторним полем у фазовому просторі. Точка фазового простору задає стан системи. Прикладений до цієї точки вектор може бути рівним нулю; такі точки називають положенням рівноваги – стан не змінюється з часом.

На рис. 10.3 зображений фазовий простір системи, яка описує взаємовідношення «Хижак-жертва». Точка Р – положення рівноваги, точка А відповідає рівноважній кількості карасів при кількості щук, менше рівноважного. Видно, що з часом у системі встановлюються коливання, положення нестійке.

Рисунок 10.3 –Фазова площина моделі «хижак жертва»

Коливання, що встановилися, зображуються замкненою кривою на фазовій площині: ця крива називається граничним циклом. Криві у фазовому просторі, які утворені послідовним станом процесу, називаються фазовими кривими.

Раніше, ніж перейти до викладання суті матеріалу, розглянемо декілька основних положень.

Стан будь-якої системи може бути стійким і нестійким (рис. 10.4); у положенні А стан кульки стійкий і його енергія мінімальна; у стані В (теоретично можливому) стан кульки нестійкий; енергія при цьому максимальна, але при переміщенні кульки вона зменшується.

Рисунок 10.4 – Стійкий (А) та нестійкий (В) стан

Розглянемо катастрофу у випадку прогину пружної балки (типу пили) з вантажем (рис. 10.5).

Рисунок 10.5 – Пружна балка

Криву рівноваги можна розбити на три області.

Рисунок 10.6 – Крива Z для балки

При нульовому вантажі залежність має W-образну форму.

Рисунок 10.7 – Енергетична крива балки

Після зняття вантажу балка прогинається униз, так як для прогину уверх вона повинна подолати енергетичний бар’єр (рис. 10.7) При цьому передбачається, що на балку не діють ніякі додаткові сили; система в ньому випадку підпорядковується правилу запізнення (або продовження). Балка під дією ваги змінила свою форму, змінився і її стан, він перестав бути стійкою рівновагою: таке явище і нази­вається катастрофою.

Термін катастрофа має два значення:

1. Раптова зміна поведінки системи (рис.10.8). Залежність пружної енергії пили від її прогину для п’яти значень прикладеного вантажу: стан рівноваги описується Z-образною кривою.

Рисунок 10.8 – Залежність енергії від прогину для даного вантажу

При цьому вантажі пружна енергія пили може приймати три значення: D, E, F. На Z-обр. кривій цьому відповідає D, E, F – точки, які відповідають визначеному прогину пили.

2. Характеризує загальний тип систем, у яких такі зміни відбуваються.

Елементарна катастрофа має таку структуру і такі елементи:

1. Простір керування.

2. Простір змінних станів.

3. Поверхня відгуку.

Теорема: для чотирьох (або менше) керуючих параметрів і будь-якого число змінних станів існує тільки сім типів елементарних катастроф.

– Комбінація значень керуючих параметрів визначає точку в просторі керування.

– Біфуркаційна множина знаходиться під складною дією і представляє собою множинність значень в просторі керування, при яких число можливих відгуків змінюється.

У катастрофи, яка називається складкою (рис. 10.9), простір керування одномірний, а біфуркаційна множина являє собою точку.

Рисунок 10.9 – Катастрофа типу складки

У катастрофи типу збірки (рис. 10.10) (природна фундаментальна катастрофа) керування двомірне, а простір змінних стану одномірний; біфуркаційна множина являє собою збірку, а точка катастрофи – точка збірки (звідси і назва).

Рисунок 10.10 – Катастрофа типу збірки

Ми не будемо розглядати випадки, коли керування трьохмірне, а простір змінних стану одномірний.

Розглянемо катастрофу типу збірки для випадку «хижак-жертва» (або соціальні потрясіння у період капіталізму – перехідний варіант для України; Конфуцій: «Щоб ти жив в епоху змін»). На рис. 10.11 показана модель поведінки тварини; аналогічно веде себе соціум або балка – тут враховується загальна поведінка системи в залежності від її структури та елементів.

Рисунок 10.11 – Катастрофа типу збірки для опису поведінки складної системи типу «хижак-жертва» або соціуму

Контрольні запитання

1. Дайте визначення терміну «катастрофа».

2. У чому полягає теорія особливостей Уітні?

3. У чому полягає теорія біфуркацій динамічних систем?

4. Назвіть два значення терміну «катастрофа».

5. Охарактеризуйте катастрофу типу «складка».

6. Охарактеризуйте катастрофу типу «збірка».

Дата добавления: 2017-02-01