Векторная алгебра. Метод координат в пространстве.

1.57. Вычислить модуль вектора .

1.58. Даны две координаты вектора y= 4; z=- 12. Определить его первую координату x при условии, что .

1.59. Определить координаты вектора , если A(2;0;-4), B(3;-3;-1).

1.60. Дан модуль вектора и углы образованные с осями координат: α= 135º; β= 120º; γ= 60˚. Найти проекции вектора на координатные оси (координаты вектора ).

1.61. Определить координаты вектора , составляющего с осями координат равные углы при условии, что =6.

1.62. Известны три последовательные вершины параллелограмма A(1;2;3),
B(-3;-2;1) и C(-6;3;2). Найти его четвертую вершину D.

1.63. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису , , .

1.64. Выяснить являются ли векторы и линейно зависимыми?

1.65. Среди векторов , , найти: 1) коллинеарные, 2) ортогональные.

1.66. Найти скалярное произведение векторов и .

1.67. Найти косинус угла между векторами и .

1.68. Найти проекцию вектора на направление вектора .

1.69. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти косинус угла между этими прямыми.

1.70. Даны вершины треугольника A(-3;-2;0), B(0;-2;4) и C(4;-2;1). Определить его внутренний угол A.

1.71. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

1.72. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(4;6;-2), B(7;4;4), C(1;1;6).

1.73. Найти высоту и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.74. Даны точки A(2;-1;3), B(1;2;0) и C(3;2;2). Найти координаты векторных произведений 1) ; 2) .

1.75. Даны вершины треугольника A(5;-6;3), B(1;-1;3) и C(1;3;0). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

1.76. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где и – единичные векторы, образующие угол 135˚.

1.77. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

1.78. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках O(0;0;1), A(5;2;1), B(2;5;1) и С(1;2;5). Найти площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

1.79. Показать, что векторы , , компланарны и разложить вектор по векторам и .

1.80. Известны координаты трех вершин тетраэдра A(3;0;1), B(2;1;3), С(2;-1;-1). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен 5.

1.81. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор.

1.82. Найти угол между плоскостями:

1. x + y – 4 z + 3 = 0 и x – 2 y + 2 z +4 = 0,

2. x + 5 y – z – 6 = 0 и x – y – 3 z + 6 = 0,

3. x – 2 y + 2 z – 2 = 0 и x + z – 5 = 0.

1.83. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

1.84. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам , .

1.85.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x + 2 y – 2 z = 1,

x – 2 y +z= 4.

1.86. Найти расстояние точки (1;3;1) от плоскости 2 x – y – 2 z – 3 = 0.

1.87. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3;-1;-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

1.88. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;0;2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a= 2 и b= 3.

1.89. Найти косинусы углов нормали плоскости 2 x + y + 2 z – 4 = 0 с осями координат.

1.90. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку (3;4;-1).

1.91. Написать уравнение плоскости, проходящей через:

1) прямую и точку A(4;6;-3),

2) три точки A(-1;2;3), B(-2;11;4), С(-3;-2;1),

3) две параллельные прямые: и ,

4) две пересекающиеся прямые и .

1.92. Написать канонические уравнения прямой:

1) проходящей через две точки A(1;-1;3), B(2;1;-1),

2) проходящей через точку A(3;1;2) и параллельной вектору .

1.93. Найти косинус угла между прямыми:

и .

1.94. Найти расстояние точки M(2;-1;3) до прямой .

1.95. Найти расстояние от точки M(1;2;2) до плоскости, проходящей через точки , , .

1.96. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти:

1) длину ребра ,

2) угол между ребрами и ,

3) площадь грани ,

4) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

5) уравнения высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

6) объем пирамиды.

1.97. Даны вершины треугольника A(3;-1;-1), B(1;2;-7) и С(-5;14;-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

1.98. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
M(-1;-3;2) и пересекает две прямые ; .

Дата добавления: 2017-02-01