Основні характеристики джерел світла

ГОЛОВНІ МЕТОДИ

РОЗДІЛ ДРУГИЙ

Точкове джерело, розглянуте в § 1, є вершиною пучків променів, що розходяться, які йдуть від нього в оточуюче середовище. Тому дія його в різних напрямах характеризується відповідними значеннями сили світла. Приймемо одне з таких - напрямів за основне. В якій-небудь площині, що проходить через основний напрям, характеризуватимемо всякий інший напрям кутом υ, що складається їм з основним (мал. 15). Положення площини, в якій вимірюється кут υ, може бути визначено кутом α, що складається нею з однією з інших таких же площин, що приймається за початкову. Лінію основного напряму назвемо фотометричною віссю. Кут υ називають кутом випромінювання.

Рис.15.

Напрям всякого променя, який випромінюється даним джерелом, тепер характеризується кутами α і υ. Силу світла, залежну, від напряму, можна розглядати як функцію цих кутів. Існують джерела, у яких можна знайти такий напрям фотометричної осі, при якому сила світла виявляється залежною тільки від кута υ, тобто залежність її від цього кута виходить однаковій у всіх площинах, що проходять через вісь. Такі джерела називають симетричними. Джерела ж, у яких сила світла при всякому напрямі осі залежить від обох кутів, називають несиметричними.

Побудувавши графік залежності сили світла від кута υ, отримаємо криву сили(названу поздовжньою) точкового джерела. Очевидно, що симетричне джерело повністю характеризується заданням значень сили світла в межах зміни кута υ від 0 до 180⁰ або кривої сили світла, яка побудована в тих же межах, тобто в на півплощині, що проходить через фотометричну вісь. Для несиметричного джерела цього недостатньо: має бути відомий ряд кривих для різних на півплощин, розміщення яких характеризується різними значеннями кута α.

Можна вважати, що значення потужності джерела світла не впливає на вид кривої світла. Тому сила світла в будь-якому напрямку пропорційна повному світловому потоку точкового джерела.

Розглянемо окремо точкове джерело, яке заміняє площадку або елемент випромінюючої поверхні. За фотометричну вісь в даному випадку природно прийняти напрямок нормалі. Таке точкове джерело буде відрізнятись тією особливістю, що значення сили світла при υ > 90⁰ дорівнюють нулю – площадка випромінює по одну сторону своєї площини. Сила світла тут пропорційна світловому потоку dF площадки, рівному добутку світимості на площадку:

Тому питома сила світла буде пропорційна тільки світимості.

Крива, зображає залежність питомої сили світла від кута υ, буде, очевидно, подібна до кривої сили світла, але значення питомої сили світла не залежать від розмірів пллощадки. Крива питомої сили світла характеризує випромінюючу поверхню, змінюючись лише із зміною світимості. В деяких випадках зручно будувати криву яскравості, представляючи залежність яскравості від кута υ.

Іноді розглядають ще поверхню, що служить геометричним місцем кінців відрізків, пропорційних силам світла і відкладених від джерела у напрямі відповідних променів. Тіло, ніби. обмежене такою поверхнею, можна назвати фотометричним. У симетричних джерел це тіло. — тіло обертання біля фотометричної осі.

Криву сили світла будь-якого точкового джерела, а також криві сили і питомої сили світла випромінюючого майданчика можна представити у формі, не залежній від потужності джерела або світимості майданчика. Для цього достатньо розділити значення сили і питомої сили світла в кожному напрямі на значення відповідної величини в якому-небудь одному, раз і назавжди вибраному напрямі. Як останнє в більшості випадків зручно узяти напрям υ = 0. Тоді вийде крива відносних значень сили світла, не залежна від потужності джерела і однакова для сили і питомої сили світла у разі випромінюючого майданчика.

Функцію, яка виражає залежність від напряму відносних значень пов'язаної з напрямом фотометричної величини, називають індикатрисою. Надалі цим терміном позначається тільки індикатриса сили світла:

(49)

де значками υ і 0 відзначені значення величин в напрямах υ і 0°.

Якщо I₀=0, то можна узяти відношення сил світла I_υ до сили світла в якому-небудь іншому зручному напрямі. Функція f_υ виражає закон випромінювання, якому слідує джерело.

По індикатрисі може бути обчислений повний світловий потік точкового джерела. З (49) сила світла в якому-небудь напрямі під кутом υ

(50)

Світловий потік пучка, який розходиться і характеризується цією силою світла та займаючи тілесний кут dω

(51)

Повний потік джерела

(52)

Цей інтеграл обчислюється в межах тілесного кута, рівного 4π. Способи його обчислення будуть розглянуті детально в третій главі.

Введемо тепер відношення повного світлового потоку F точкового джерела до сили світла I₀, що дається їм в напрямі, прийнятому за основний:

(53)

Величина Ω є, очевидно, тілесним кутом. Саме, Ω — тілесний кут, в якому розповсюджувався б весь потік F джерела, якби сила світла була рівна I₀ по всіх напрямах усередині цього кута; назвемо його еквівалентним тілесним кутом. Тоді сила світла в будь-якому напрямі

(54)

У несиметричних джерел значення f(υ) повинне бути визначене з урахуванням положення площини, що проходить через фотометричну вісь, в якій йде даний промінь, і буде функцією обох кутів — f(α,υ).

Для випромінюючої поверхні Ω є відношення світлового потоку dF її елемента ds до сили світла dI₀ цього елемента у напрямі нормалі. Отже

(55)

Звідси, вводячи світимість R, маємо:

(56)

або

(57)

де В₀ — яскравість у напрямі нормалі.

Таким чином, для випромінюючої поверхні еквівалентний тілесний кут може бути визначений ще як відношення світимості до яскравості у напрямі нормалі.

Повний променистий потік F, що дається поверхнею s, властивості якої, тобто f(υ) і R, у всіх крапках однакові, рівний добутку R_s, тобто

(58)

Іноді функцію, представляючу залежність сили світла від напряму, нормують іншими способами. Один з таких способів полягає в тому, що значення сили світла на всіх напрямках ділять на повний потік джерела, тобто обчислюють для кожного напряму силу світла, що доводиться на одиницю повного потоку. Залежність цієї величини від напряму замінює індикатрису:

В іншому способі обчислюють спочатку середню сферичну силу світла:

Це — сила світла, яку давало б при тому ж повному потоці джерело, у якого вона не залежить від напряму. Потім складають відношення сил світла у різних напрямах до середньої сферичної, замінюючи иідикатрису залежністю цього відношення від напряму:

Як видно, всі ці функції зв'язані таким чином:

звідси

де інтеграл виконується в межах тілесного кута 4π.

Розглядаючи промені, що йде від тіла після віддзеркалення або проходження світла через нього, іноді зручно вважати це тіло джерелом. Такі джерела називають вторинними, на відміну від первинних, в яких відбувається виникнення променистої енергії. Індикатриси вторинних джерел залежать, природно, від умов їх освітлення, тобто від напряму, числа і яскравості падаючих на них променів.

Надалі всяке точкове джерело і всяка випромінююча поверхня характеризуються індикатрисами. Крім того, для точкових джерел повинен бути заданий світловий потік, для випромінюючих же поверхонь — світимість. За цими даними, що відносяться до тієї або іншої ділянки спектру або до всього спектру, можуть бути знайдений всі інші величини, що характеризують кожне джерело в даному спектральному інтервалі або у всьому спектрі.

§ 10. Коефіцієнти освітленості і зв'язку

Розглянемо випромінюючу поверхню s₁ і освітлювану s₂. Нехай від елемента ds₁ до елемента ds₂ (див. мал. 6) йде пучок, що сходиться, який займає тілесний кут dω₁ і має силу світла dI. Яскравість цього пучка позначимо через В, кут випромінювання для нього — через υ₁; тоді

,

звідки

(59)

де dI і В₀ — сила світла і яскравість елемента ds₁ у напрямі нормалі, а f(υ) і Ω — його індикатриса і еквівалентний тілесний кут. Освітленість, яка виробляється цим пучком в даній точці освітлюваної поверхні,

(60)

де υ₂ - кут падіння. Припускаючи, що індикатриса і світимість випромінюючій поверхні однакові у всіх її точках, знайдемо тепер освітленість, яка виробляється цією поверхнею:

(61)

де ω₁ —тілесний кут, який займає пучок, що йде від всієї поверхні s₁.

Відношення освітленості до світимості випромінюючої поверхні називають коефіцієнтом освітленості [Л. 217]. Цей коефіцієнт позначимо через ε:

(62)

він — безрозмірна величина.

Очевидно, з (61), що для ds₂

(63)

Таким чином, коефіцієнт освітленості залежить від індикатриси, а також від вигляду і розташування випромінюючої поверхні.

Якщо r — відстань від ds₁ до ds₂ то, згідно (1),

що, після підстановки в (63), дає інший вираз коефіцієнта освітленості:

(64)

Обчислимо світловий потік F₁₂, падаючий на поверхню s₂ від поверхні s₁:

тобто

(65)

Потік F₁₂ складає деяку частку ψ₁₂ повного потоку F₁, що дається випромінюючою поверхнею. Цю величину називають коефіцієнтом зв'язку [Л. 203]*:

(66)

Коефіцієнт самозв'язку — коефіцієнт зв'язку поверхні з собою; для плоских і опуклих поверхонь він рівний нулю.

Взявши до уваги, що

,

знайдемо з останніх виразів:

(67)

Звідси знаходимо далі, що коефіцієнт освітленості поверхні s₂ від поверхні s₁

(68)

Позначивши через φ₂ коефіцієнт зв'язку елемента ds₁ з s₂, маємо також:

(69)

де

(70)

якщо про ω₂ — тілесний кут, під яким поверхня s₂ видна з ds₁.

Коефіцієнт зв'язку залежить від індикатриси, а також вигляду і взаємного розташування випромінюючої і освітлюваної поверхонь. Найбільше можливе його значення, очевидно, рівно одиниці. Якщо світимість в різних точках випромінюючої поверхні різна, то коефіцієнт зв'язку може змінюватися ще залежно від цієї обставини.

Коефіцієнти освітленості і зв'язку, будучи визначений для тих умов, від яких вони залежать, дозволяють легко обчислювати освітленості і потоки при різній потужності (тобто різною світимістю) випромінюючої поверхні.

§ 11. Термодинамічні умови. Закони Ламберта і Ейлера

Розглянемо систему n поверхонь, які створюють замкнуту фігуру, усередині якої одна з них, скажімо k-та, випромінює. Вводячи коефіцієнти зв'язку ψ_k1,ψ_k2 ,…, ψ_kk, ψ_kn випромінюючої поверхні зі всіма n поверхнями, знаходимо, що закон збереження енергії вимагає умови:

(71)

яке є виразом принципу збереження потоку (§ 5). Ця умова показує, що потік, який посилається від кожної з даних поверхонь, цілком потрапляє на неї та інші поверхні; її називають умовою замкнутості.

Розглядаючи замкнуту систему поверхонь в стані термодинамічної рівноваги, тобто випромінюючих як абсолютно чорні тіла, що знаходяться при однаковій температурі, можна отримати нові фотометричні співвідношення (Л. 234]. При цьому кожна поверхня посилає будь-який інший такий же променистий потік, який одержує від неї, а оскільки спектральний склад випромінювання всіх поверхонь однаковий, у вказаному співвідношенні знаходяться і світлові потоки.

Таким чином, якщо до даної системи належать майданчики ds₁ і ds₂, першу з яких посилає на другу світловий потік dF₁₂, а друга на першу — потік F₂₁ то

Покладемо, що відстань r між узятими майданчиками достатньо велика, щоб можна було розглядати їх як точкові джерела. нехай dI₁ і dI₂ — сили світла першого майданчика в напрямі на другу і другий в напрямі на першу, а υ₁ і υ₂ — кути, що складаються нормалями до майданчиків із сполучаючим їх променем (див. мал. 6). Тоді світловий потік

а

Прирівнюючи праві частини цих виразів і ділячи обидві частини рівності на добуток ds₁ ds₂, знаходимо, що

(72)

або

(73)

*

тобто яскравість майданчика не залежить від напряму.

З (72) безпосередньо витікає, що в даному випадку індикатриса

(74)

Точкове джерело, що має таку індикатрису, будемо називати косинусним. Його еквівалентний тілесний кут

(75)

Рис 16.

Цей інтеграл можебути вичислений з наступних геометричних міркувань.υ — кут між віссю тілесного кута dω є нормаллю до випромінюючого майданчика. А оскільки вісь кута dω є нормаль до сферичного елемента, що виміряє цей тілесний кут, то і підінтегральний вираз представляє, очевидно, проекцію такого елемента на площину випромінюючого майданчика. Іншими словами, це — проекція вирізаного тілесним кутом і з елемента сфери одиничного радіусу, що має центр у вершині тілесного кута. Інтеграл рівний сумі таких проекцій, тобто проекції суми сферичних елементів або частини сфери, відповідної тілесному куту 2π. Ця частина — півсфери, а її проекція на площину майданчика, що проходить через центр, рівна π (мал. 16). Отже, в даному випадку

(76)

Формули (73) і (74) виражають закон Ламберта [Л. 12], висновок якого з умов термодинамічної рівноваги дав Фурьє [Л. 19] і детально дослідив Пуассон [Л. 24].

З попереднього виходить, що по цьому закону випромінює абсолютно чорне тіло. В багатьох інших випадках закон Ламберта дотримується з більшою або меншою точністю, часто достатньої, проте, для практичних розрахунків. Це відноситься як до первинних джерел, так і до вторинних [Л. 81]. Сам Ламберт знайшов свій закон із спостережень, що показували, як він вважав, що яскравість сонячного диска, тобто проекції кулі, що світиться, однакова у всіх його крапках, ніж спростовувалася думка Ейлера, який вважав, що елемент поверхні такої кулі дає силу світла, однакову по всіх напрямах [Л. 10]. Проте ще спостереження Бугера [Л. 11] показали, що припущення, прийняті Ейлером і згодом Ламбертом, не підтверджуються для небесних тіл, для яких співвідношення, назване надалі законом Ламберта, є лише не завжди допустимим приближенням.

Насправді, як помітив ще Гершель [Л. 21], випромінює не елемент поверхні, а шар речовини, що знаходиться за ним. У випадках сильного поглинання власного випромінювання або великої товщі випромінюючої речовини, елемент поверхні джерела випромінює приблизно за законом Ламберта, при слабкому ж поглинанні — приблизно так, як вважав Ейлер. Відступи від цих законів залежать від заломлення, віддзеркалення і розсіяння на поверхні розділу випромінюючого і оточуючого середовищ [Л. 58]. Оскільки поглинання залежить від довжини хвилі, елемент поверхні може випромінювати по-різному в різних місцях спектру. Газосвітні лампи низького тиску, наприклад, наближаються до закону Ламберта в резонансному випромінюванні, тоді як розподіл потоку інших ліній їх спектру відбувається приблизно по Ейлеру.

Таким чином, разом із законом Ламберта в деяких випадках застосовний закон Ейлера, коли індикатриса

(77)

а еквівалентний тілесний кут для елемента поверхні, випромінюючого по одну сторону

Обидва закони застосовні за обмежених умов, а не універсальні, як вважали Ейлер для свого закону і Ламберт для свого.

При дотриманні закону Ейлера, сила світла точкового джерела не залежить від напряму:

(78)

Таке джерело називають рівномірним або ізотропним. В цьому випадку еквівалентний тілесний кут

(78)

Практично закон Ламберта має найширше застосування, оскільки в багатьох розрахунках приймають, що випромінюючі і розсіюючі світло поверхні достатньо точно йому підкоряються. В таких випадках застосовні фотометричні співвідношення, одержувані для поверхонь, що знаходяться в умовах термодинамічної рівноваги [Л. 207], при якій, як показав Фур'є, дотримується закон Ламберта, а світимість всіх поверхонь однакова. Такі поверхні називають рівнояскравими.

Потоки F_k і F_і випромінювані рівнояскравими поверхнями s_k і s_i, знаходяться в співвідношенні:

(81)

Разом з тим, потік, падаючий з s_k на s_i

а потік, падаючий з s_k на s_i

де ψ_ki і ψ_ik – коефіцієнти зв'язку s_k з s_i та s_i з s_k

При термодинамічній рівновазі

(82)

звідки слідує формула, яку дав Дурньон [Л. 129]:

(83)

Рівняння (71), (82) і (83) складають основу термодинамічного методу теоретичної фотометрії, для вирішення деяких задач якої достатньо їх застосування. Слід помітити, проте, що рівняння (82) і формула Дурньона застосовне, у відмінність від (71), тільки при точному (термодинамічна рівновага) або наближеному дотриманні закону Ламберта, причому (82) припускає однакову світимість обох поверхонь. Проте, рівняння (82) дозволяє одержувати важливі результати, як, зокрема, показано надалі.

>

§ 12. Негативні світлові величини

ч

Існують явища, для вивчення яких корисно розглядати світлові потоки різних знаків — позитивні і негативні. Б. И. Степанов розвинув і застосував цю ідею, вказавши, що вона має значення і в проблемах переносу променистої енергії [Л. 352]. При цьому, користуючись негативним потоком, необхідно розглядати і відємні значення всіх інших світлових величин.

Щоб ввести негативні світлові величини у фотометрію, розглянемо замкнуту систему випромінюючих поверхонь. В результаті взаємодії цих поверхонь кожна з них матиме деяку яскравість в будь-якій своїй точці і на всіх напрямках. Нехай s — одна з таких поверхонь (мал. 17). Для спрощення подальших міркувань припустимо, що s — рівнояскрава поверхня. Маючи деяку яскравість В, вона бере участь в освітленні решти поверхонь, яскравості яких залежать, отже, від її присутності. Якщо видалити поверхню s, то в даній системі поверхонь утворюється вікно, через яке світло частково виходитиме в оточуюче простір. В той же час світловий потік, що входить через вікно, що утворилося, з навколишнього простору, може нехтувати малим. Тоді яскравість всіх поверхонь системи зрадяться.

Рис.17.

Розглядаючи вікно як одну з поверхонь, які входять до складу замкнутої системи, можна приймати, що в описаному досліді яскравість цієї поверхні у всіх її точках і по всіх напрямах рівна нулю. Тому утворення вікна за допомогою видалення рівнояскравої поверхні, що має яскравість В, повинне зробити такий же вплив на решту поверхонь системи, яке вийшло б, якби поверхня, що видаляється, залишаючись на місці, почала б додатково випромінювати з яскравістю — В, однакової по всіх напрямах.

Таким чином, приймаючи, що вікно випромінює як рівнояскрава поверхня негативної яскравості, визначають його вплив на замкнуту систему поверхонь, в якій вона утворена. Цей метод застосовний, звичайно, і в тих випадках, коли поверхнях, видаленням якої утворилось вікно, випромінює по іншим законам.

Рис.18

§ 13 Світловий вектор

Дата добавления: 2017-02-01