Методические указания

Численное дифференцирование используется для приближенного вычисления производных функции, заданной таблицей, и для функций, которые по разным причинам неудобно и невозможно дифференцировать аналитически. В последнем случае вычисляется таблица функции в окрестности исследуемой точки и по этим значениям вычисляется приближенное значение производной.

Значение производной можно найти, используя различные методы вычисления. Мы воспользуемся тремя способами:

Способ построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по табличным точкам строится интерполянт , который дифференцируется нужное число раз и делается допущение о том, что производная от функции приблизительно равна производной от интерполянта: .

При кусочно-линейной интерполяции по равностоящим узлам получим формулу для : .

Если требуется вычислить производную в одной из табличных точек, то формулы упрощаются. В частности, для x=xi получим:

Возможно дифференцирование интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона. Это позволит последовательно получить формулы дифференцирования различной степени точности, но для практических вычислений более удобна форма, содержащая не конечные разности, а значения функции в табличных точках. При квадратичной интерполяции для получим:

. Аналогично и при кубической интерполяции. Если требуется вычислить производную в одной из табличных точек, то формулы упрощаются. При интерполировании по пяти точкам можно получить:

.

Формулы для вычисления производных второго порядка получаются путем повторного дифференцирования интерполянта. При использовании значений фунцкии вместо конечных разностей для квадратичной интерполяции получим формулу:

Дата добавления: 2017-02-01