Работа постоянной и переменной силы. Мощность. Потенциальные (консервативные) и непотенциальные силы

Работа и механическая энергия.

Закон сохранения момента импульса.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

1. В разделе "Кинематика" при рассмотрении поступательного и вращательного движений мы показали, что кинематические уравнения обоих движений имеют одинаковый вид, но при поступательном движении мы используем линейные характеристики (путь, скорость, ускорение), а при вращательном - угловые характеристики (угловое перемещение, угловую скорость, угловое ускорение). Используем эту аналогию и в динамике. При поступательном движении уравнение второго закона Ньютона имеет вид d P /dt = F.

Для вращательного движения: d L /dt = M.

Это уравнение называется уравнением моментов или основным законом вращательного движения. Вид уравнения не изменится и для системы материальных точек и для вращения твердого тела, только L определяется какмомент импульса для системы точек.

2. Еще один вид уравнения второго закона Ньютона для вращательного движения имеет вид:

M∙ dt = d L,

где величина M∙ dt называется импульс момента сил, а d L -изменение момента импульса системы.

Обратимся к уравнению моментов d L /dt = M, где M - главный вектор момента внешних сил.

Если M = 0, то и L = const.

Если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на систему материальных точек, равен нулю, то относительно этой точки вектор момента импульса системы не изменяется с течением времени (закон сохранения момента импульса относительно полюса).

Примеры.

а) Человек стоит на скамье Жуковского, представляющей массивный, диск, который может вращаться вокруг оси, проходящей через его центр, с пренебрежимо малым трением. Момент импульса системы "человек - диск" равен нулю. Человек начинает идти вдоль обода диска. Диск начинает вращаться в обратную ходу человека сторону.

б) Фигурист выполняет "волчок", его руки раскинуты в стороны, его момент инерции относительно вертикальной оси вращения I₁, угловая скорость ω₁. Затем он резко прижимает руки к груди, его момент инерции уменьшается и становится I₂, а угловая скорость ω₂ увеличивается. При этом выполняется закон сохранения момента импульса относительно вертикальной неподвижной оси, проходящей через линию симметрии тела фигуриста I₁ ∙ ω₁ = I₂ ∙ ω₂.

В физике работа неразрывно связана с изменением состояния тела или системы. Это изменение может выражаться самым различным образом: а) тело приобретает другую скорость, б) тело поднимается на другой уровень, в) тело деформируется, г) тело заряжается, д) тела намагничивается и т.д. Состояние механической системы (или тела) характеризуется одновременным заданием координат и скоростей всех точек системы (или тела) и может изменяться в процессе движения.

Процесс изменения характера движения тела происходит при его силовом взаимодействии с другими телами. Для количественного описания процесса вводят понятия силы и работы, совершаемой силой.

1.Если на тело действует постоянная сила F (Рисунок 13), и это приводит к перемещению ∆ r тела, то элементарной работой ∆А постоянной силы называется скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения ∆ r:

∆А = (F ∙∆ r) = ½ F ½½∆ r ½cos a,

где a - угол между направлениями векторов силы F и перемещения ∆ r, (F ∙∆ r) – скалярное произведение двух векторов (см.[8]).

Рисунок 13 - Перемещение тела под действием постоянной силы.

Работа ∆А - скаляр. Если угол a - острый, то ∆А положительная величина, и говорят, что сила совершает работу. Если угол a - тупой, то ∆А - отрицательная величина, и говорят, что работа совершается против действия силы. Если a = 90⁰, т.е. направления силы и перемещения взаимно перпендикулярны, то такая сила работы не совершает ∆А = 0. Такая сила не может изменить величину скорости тела, но она меняет направление скорости.

2. Работа переменной силы. Если сила или равнодействующая сил изменяет свою величину или направление (движение по криволинейной траектории, причем угол α ≠ 90⁰), то работа ∆А, совершаемая переменной силой F (или F рез) на конечном участке траектории вычисляется следующим образом.

На рисунке 14 представлен график зависимости силы F от пути S. Разобьем весь путь на N участков. Перемещение и действующая сила на каждом участке соответственно равны F _i и ∆ r _i. Тогда работа А, совершаемая силой F, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил F _i на своем малом участке (Рисунок 14):

А = ∆А₁ + ∆А₂ +....+ ∆А_N = (F ₁∙∆ r ₁) + (F ₂∙∆ r ₂) +...+(F _N∙∆ r _N) = (F _i∙∆ r _i),

где i = 1,2......N - номер элементарного участка траектории.

Рисунок 14 - График зависимости силы от пути.

На участке ∆ r _i силу F _i можно считать постоянной, тогда элементарная работа ∆А_i на участке ∆ r _i равна ∆А_i =F _i∙∆ r _i и равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 14.

А=∆ А_i - это работа силы F на участке r, равна она численно площади S фигуры, ограниченной кривой зависимости F(х) и осью Х.

3.Примеры вычисления работы.

а) Тело, поднятое над землей на высоту h, падает на землю (без трения) из точки В в точку С и возвращается обратно (Рисунок 15). Определить работу силы по замкнутому пути.

Сила, действующая на тело, постоянна и равна силе притяжения тела к Земле (сила тяжести). Работа этой силы на участке ВС равна .

Чтобы поднять тело без ускорения из точки С в точку В, надо приложить к телу силу, равную силе тяжести, но противоположно направленную, и работа на участке пути СВ равна (работа совершается против силы тяжести).

Полная работа на участке (ВС+СВ) равна нулю.

Рисунок 15. Падение тела с высоты h (a) и поднятие тела на высоту h (б)

б) Пружину длиной l₁ растягиваем до длины l₂. Какая работа при этом совершается?

Пусть х - длина, на которую растянута пружина, отсчет х от положения равновесия (Рисунок 16). При этом на пружину будет действовать упругая сила, старающаяся вернуть пружину в состояние равновесия, что соответствует минусу в формуле F = - kх (закон Гука). Если растянуть пружину еще на малую длину ∆х, надо совершить элементарную работу ∆А = - kх∙∆х.

Возникающая упругая сила будет переменной, т.к. она зависит от длины, на которую растягивают пружину. Для определения работы, которую надо затратить для растяжения пружины от длины l₁ до l₂, надо воспользоваться операцией интегрирования:

Работа силы упругости определяется только начальным и конечным положением пружины.

Рисунок 16. Сжатие пружины

4. Полная работа внешних сил при вращательном движении тела равна произведению момента этих сил относительно оси вращения на угол поворота тела за время действия сил. ∆A=М∆ .

И момент сил, и угловое перемещение (равное по модулю углу поворота) - векторы, направленные вдоль оси вращения. Если направление этих векторов совпадает, то ∆A>0. Если направление этих векторов противоположное, то ∆A<0.

5. Силы, работа которых определяется только начальной и конечной точками их приложений, и не зависят ни от вида траектории, ни от характера движения тела, называются консервативными или потенциальными силами.

Другое определение для этих сил таково. Силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю, называются потенциальными.

Соответственно, если работа силы по замкнутой траектории не равна нулю, то такая сила неконсервативная (непотенциальная).

К непотенциальным силам относятся силы трения и силы, величина которых зависит от скорости движения точки (тела).

Сила тяжести и сила упругости являются потенциальными силами (см. приведенные выше примеры).

Дата добавления: 2014-01-04