Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Методы исследования





Системы линейных уравнений общего вида

Напомни, что и называются базисными неизвестными.

Здесь С1 и С2 произвольные константы.

.

Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид

Используя это значение, из первого уравнения выразим через и .

.


Для заметок

                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 
                                                 

 



Решение, полученное из общего при С1 = С2 =0 называют базисным решением. Если при этом базисные неизвестные неотрицательны, то такое решение называют опорным.

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и имеют один и тот же ранг, т.е.

то могут представиться две возможности - a) k = n; б) k < n:

а) если k = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель Δ этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если k < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1k xk = b1 - a1,k+1 xk+1 -... - a1nxn,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2k xk = b2 - a2,k+1 xk+1 -... - a2nxn,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ar1 x1 + ar2 x2 +... + akk xk = bk – ak,k+1 xk+1 -... – aknxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xk, так как определитель этой системы (k-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xk. Таким образом, при k < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (9.1)

... ... ... ... ... ...

am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (9.1) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (9.1) имеет ранг k.

Если k = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (8.1); при k < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

 

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 136; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.