Понятие ранга матрицы

Определение 11.1: Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличного от нуля минора матрицы.

При этом под минором матрицы А k -го порядка (обозначение: ) будем понимать определитель k-го порядка, получаемый из матрицы А в результате вычеркивания некоторых её строк и столбцов.

Пример:

1. Для матрицы А её единственный минор 3-го порядка – . Поэтому r(A)=3.

2. Для матрицы В существует (Получается из В удалением её последнего столбца); поэтому r(В)=4.

3. Для матрицы С её третья строка равна сумме первых двух (проверить), и поэтому для всякого её минора третьего порядка третья строка будет равна сумме первых двух, и поэтому он будет равен нулю (см. §1, 9-е свойство определителя третьего порядка).

Тем не менее, есть (получаемый из матрицы С удалением её третьей строки и третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(С)=2.

4. Все строки матрицы D пропорциональны (вторая строка равна удвоенной первой, а третья – первой, взятой с противоположным знаком), и поэтому все миноры второго и третьего порядков содержат пропорциональные строки и равны нулю. Есть лишь (получается из матрицы D удалением второй и третьей строки, а также второго, третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(D)=1.

В качестве задачи предложим читателю доказать, что имеет место следующая теорема 11.1:

r(A)=1все строки (и столбцы) матрицы А пропорциональны и А≠0.

5. В матрице F=0 вообще нет ни одного ненулевого минора; её ранг равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-04