Доказательство теорем

Формулировка теоремs о линейной зависимости четырех векторов.

Теорема 16.3: 4 вектора всегда линейно зависимы.

Доказательство теоремы 16.1:

(Смотри п14.2(§14) правило 1) определение)

Если , то

(“+”, если сонаправленны; “–“, если противоположно направлены).

(читателю предлагаем самостоятельно доказать, что если («+», если и «-» то ), то и ) т.е )

Причём, если , то , и и, таким образом, свойство (5) суммы и умножения векторов на число (см.31.4) полностью доказано.

Доказательство теоремы 16.2:

– л.з. и они компланарны, ибо является диагональю параллелограмма, на сторонах которого лежат векторы и .(см. рис 16.1)

В

Пусть – компланарны;а (иначе

содержит линейно зависимую подсистему

; , .

Тогда O A

Рис 16.1

Мы показали так же что справедлива

Лемма 16.1: если неколлинеарные, компланарные, то , что .

Доказательство теоремы 16.3:

Пусть выходят из общего начала (точки О). Можно считать, что среди векторов нет компланарных троек (иначе существует л.з. подсистема). Из конца вектора (т.D) проводим прямую до её пересечения с плоскостью, на которой расположены векторы и . Пусть М – искомая точка пересечения. (см. рис 16.2)

Тогда и, следовательно, (16.1)

По правилу треугольника, (16.2)

Векторы и не коллинеарные, и тогда (16.3)

Подставляя вместо в (16.2) его выражение по формуле (16.3), получаем , т.е. линейно выражается через векторы , и система – л.з.

D

C B M

O A

Рис 16.2

Дата добавления: 2014-01-04