![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейное пространство и линейные операторы
Эта система линейно независима; 2) любой вектор можно выразить через Доказательство: Т.к. Если Поэтому Получим единственность: Если существует другое разложение (17.2): то, вычитая из (17.2) равенство (17.3), получим: Но, так как система Единственность доказана. Доказана также следующая лемма. Лемма 17.1:если система Определение:
Теорема 17.2: При сложении векторов их координаты складываются, а при умножение вектора на число – координаты умножаются на это число.
Доказательство:
Определение:Линейное пространство над множеством вещественных чисел – некоторое множество объектов, где заданы операции сложения и умножения на действительное число, со следующими свойствами: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) В линейном пространстве действуют все определения и теоремы §15 и §17.
Теорема 18.1:Система линейно зависима, когда хотя бы один из её элементов можно выразить через остальные. Доказательство такое же, как и у векторов. Система линейно независима, если из того
Определение18.1Если в нетривиальном пространстве существует базис, то пространство называется конечномерным.
Определение18.2:Число элементов базиса – размерность линейного пространства. Теорема 18.2: Все базисы одного и того же пространства состоят из одинакового количества элементов.
Теорема 18.2 будет доказана ниже (как следствие теоремы о замене элементов базиса). Из неё, в частности, следует корректность определения размерности линейного пространства и её независимость от выбора базиса.
Определение 18.3:Линейной оболочкой
Определение18.4:Систему
Теорема 18.3:Координаты суммы равны сумме координат.(доказывается аналогично теореме 17.2) Теорема о замене элементов базиса:
Тогда некоторые m элементы (18.1) заменяются на элементы (18.2)
Согласно определениям §17, базис дополнить нельзя, ибо, любые его дополнения делают его линейно зависимой системой. т.е из теоремы 18.2 получается из теорема о замене элементов базиса. Следствие18.1:Любую линейно независимую систему в конечномерном линейном пространстве можно дополнить до базиса. Лемма 18.1: Доказательство леммы 18.1:
Подставляя в (18.5) вместо b его выражение из формулы (18.4), получим
Лемма 18.2:
Доказательство:
Поместив вместо a в (18.9) его выражение по формуле (18.8), получим: Следствие:Всякую полную систему можно уменьшить до базиса.
Доказательство теоремы о замене элементов базиса методом математической индукции: m=1 (база индукции)
Тогда, по лемме 18.1 Допустим, что Но т.к. Следовательно, предположение о линейной зависимости системы
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 514; Нарушение авторских прав? Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
|