Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який визначається такими трьома умовами:

а) і ;

б) вектори , і утворюють праву трійку векторів (див. п. 2.3);

в) довжина вектора обчислюється за формулою

.

Векторний добуток вектора на вектор позначається або .

Геометричний зміст векторного добутку. Довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і ,

віднесених до спільного початку (рис. 2.11).

Рис. 2. 11

Перелічимо основні властивості векторного добутку.

1) Векторний добуток дорівнює нуль-вектору тоді і тільки тоді, коли співмножники колінеарні: рівносильне ||, тому що в цьому випадку . Зокрема .

2) Векторний добуток антикомутативний:

.

Справді, при зміні порядку співмножників паралелограм не зміниться, отже , але напрям протилежний напряму , бо як вектори , , так і вектори , , утворюють праві трійки. Це означає, що дивлячись з кінця вектора , ми бачимо найкоротший поворот від до проти годинникової стрілки, а дивлячись з кінця вектора , бачимо проти годинникової стрілки найкоротший поворот від до .

3) Асоціативність відносно скалярного множника:

= = .

Дійсно, наприклад, і , крім того і колінеарні, бо кожен з них перпендикулярний до вектора і до вектора . Напрям у них однаковий, що при є очевидним; при вектори і мають протилежні напрями, тому вектор напрямлений протилежно вектору , але при цьому вектор також напрямлений протилежно вектору , значить і при буде , тому і в цьому разі = .

4) Дистрибутивність відносно додавання:

Обґрунтування цієї властивості розглянемо пізніше (за допомогою формули (2.23)).

Зауваження. Сформульовані властивості дозволяють при векторному множенні векторних многочленів виконувати дії почленно (розкривати дужки) і об’єднувати числові коефіцієнти векторних співмножників. Але слід пам’ятати, що порядок співмножників векторного добутку є істотним, і при перестановці співмножників знак векторного добутку змінюється на протилежний.

Приклад.

=.

Тут враховано, що ==.

Дата добавления: 2014-01-04