Первый множитель в (3.3.10) обращается в нуль в точках, для которых

. (3.3.11)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (3.3.4)).

Второй множитель в (3.3.10) принимает значение в точках, удовлетворяющих условию

. (3.3.12)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

(3.3.13)

(- амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом ).

Условие (3.3.12) определяет положения максимумов интенсив­ности, называемых главными. Число дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (3.3.13) в квадрат, получим, что интенсив­ность главных максимумов в раз больше интенсивности , создаваемой в направлении одной щелью: .

Кроме минимумов, определяемых условием (3.3.11), в проме­жутках между соседними главными максимумами имеется добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направле­ниях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно пога­шают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием

. (3.3.14)

.

В формуле (3.3.14) принимает все целочисленные значения, кро­ме , т. е. кроме тех, при которых условие (3.3.14) пере­ходит в (3.3.12).

Условие (3.3.14) легко получить методом графического сложе­ния колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (3.3.14) каждый из после­дующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол

.

Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным , мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при ) или (при ) оборотов прежде чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 3.3.26, на котором показана сумма векторов для случая и значений , равных и .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных макси­мумов не превышает интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 3.3.27 приведен график функции (3.3.10) для и . Пунктирная кривая, проходящая через вершины глав­ных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении пе­риода решетки к ширине щели главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (3.3.11) и (3.3.12) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выпол­нено равенство: , или . Это возможно, если равно отношению двух целых чисел и (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум -го порядка - на -й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков и т. д. будут отсутствовать.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки к длине волны . Модуль не может превысить единицу. Поэтому из формулы (3.3.12) вытекает что

.

Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием (см. формулу (3.3.14)), этим минимумам соответствуют =, при этом , и угловая ширина центрального максимума равна .

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главно­му максимуму -го порядка, определяется условием: . Отсюда получается для угловой ширины -го мак­симума следующее выражение:

.

Обозначив и , имеем

.

При большом числе щелей значение будет очень мало, потому , и

.

При

Произведение дает длину дифракционной решетки. Следо­вательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропор­циональна длине решетки. С увеличением порядка максимума ширина возрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси­мумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ). Разрешающая сила определяет ми­нимальную разность длин волн , при которой две линии воспри­нимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, про­дифференцируем условие (3.3.12) главного максимума слева по , а справа по . Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

(3.3.15)

- угловая дисперсия обрат­но пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спект­ра , тем больше дисперсия.

Дата добавления: 2014-01-04