Теория общего равновесия в XX в.: вклад А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хш К. Эрроу и Ж. Дебре

Леон Вальрас и его место в истории экономической мысли; основные труды

Q Макроэкономический аспект модели общего равновесия

А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса, К. Эрроу и Ж. Дебрей

И процесс «tatonnement» qТеория общего равновесия в XX в.: вклад

Теория общего экономического равновесия

q Леон Вальрас и его место в истории экономической мысли;

основные труды q Модель общего равновесия,

включающая производство; проблема существования решения

Наряду с австрийской и англо-американской школами фундамент современной экономической теории закладывался представителями лозаннской школы и прежде всего Л. Вальрасом [175].

Вальрас предложил концепцию общего экономического равновесия как универсального средства анализа экономической системы в целом, в основе которой лежало представление об экономическом поведении как об индивидуальной оптимизации. Он сделал реши тельный шаг в сторону математизации экономической теории, способствовал приданию ей логической стройности и строгости, что отвечало и отвечает современным представлениям о науке и научном знании.

В этом состоит основной вклад Вальраса в развитие экономической науки, выходящий по своему значению за рамки собственно маржинализма и определяющий особое место Вальраса в ряду основателей современной экономической теории. Не случайно И. Шумпетер назвал Вальраса величайшим «чистым теоретиком». Эту оценку и сегодня разделяет большинство экономистов.

Экономика Вальраса - это абстрактная система, в которой действуют суверенные и рациональные индивиды, оптимизирующие свои целевые функции; вся необходимая информация заключена в ценах и одинаково доступна всем участникам; имеет место совершенная конкуренция, означающая, что никакой отдельный участник рынка не влияет на рыночную ситуацию, а она в свою очередь предоставляет им равные возможности реализации своих предпочтений;

все изменения в системе происходят мгновенно. Очевидно, что подобная система далека от реальной действительности, но она представляет собой абстракцию, отражающую существенные черты рыночной экономики.

Представив экономическую систему как систему уравнений спроса и предложения, Вальрас открыл эру математизации экономической теории. Он был, конечно, не первым, кто прибегал к математике. Некоторые представители классической школы использовали математический инструментарий; задолго до Вальраса предпринимались попытки воплотить идею взаимосвязанности хозяйства в системе уравнений. Но Вальрас был первым, кто превратил математику из средства иллюстрации в способ выражения экономических взаимосвязей. Последние были представлены в виде математических функций, переменными которых выступали основные экономические показатели, такие, как цены, количества товаров и факторов производства и т.д. Математизация экономической науки стала синонимом превращения ее в чистую теорию в современном понимании этого слова.

В отличие от других представителей маржинализма, прежде всего австрийцев, Вальраса интересовали функции спроса и предложения и устанавливающиеся в результате их взаимодействия обменные пропорции, а не полезность как основа цены.

Концепция равновесия Вальраса была одновременно и развитием классических представлений, и принципиально новым подходом к анализу экономики.

У классиков мы находим истоки некоторых важнейших сторон концепции равновесия: принципа взаимосвязанности и согласованности, воплотившегося в идее «невидимой руки» и допускавшего, что результаты функционирования системы в целом могут отличаться или Даже противоречить намерениям ее участников. Осознание последнего обстоятельства К. Эрроу назвал «наиболее значительным интеллектуальным достижением, которое было сделано в понимания социальных явлений как целостного процесса»[176].

Эта работа Вальраса, несмотря на ее новаторский характер, не вызвала большого интереса со стороны ведущих экономистов того времени, с которыми Вальрас переписывался, а между тем среди них были А. Маршалл, Ф. Эджуорт, Ф. Уикстид, К. Менгер, Е. Бём-Баверк, Дж.Б. Кларк, И. Фишер, Г. Мур.

Идея взаимосвязанности, по мнению Вальраса, заключалась в том, что состояние одного рынка зависит от состояния другого, иными словами, спрос и предложение на данном рынке зависят не только от цены соответствующего товара, как предполагалось при частичном равновесии, а от цен на все товары. Принцип неинтенационности результатов выразился в том, что по отношению к индивиду цены задавались извне - рынком, и индивид не мог на них повлиять.

И все же видение экономики Вальрасом отличалось от классического. Если экономисты-классики рассматривали экономику с позиций производства, отводя спросу второстепенную роль, то Вальрас, отчасти в силу формальности подхода, признавал равнозначность спроса и предложения как факторов, определяющих состояние экономики, в данном случае - цен и количеств товаров.

Однако существует еще один момент, указывающий на близость Вальраса и классиков. Речь идет о методологических представлениях ученого. Подобно Дж.Ст. Миллю, Вальрас полагал, что экономическая наука должна указать путь к более справедливому обществу и для этого она должна выявить законы, управляющие производством и распределением. Он исходил из того, что законы, управляющие производством, - объективные законы, аналогичные законам природы. Эти законы являются выражением порядка, который устанавливается в экономике, где доминирует принцип полезности. Попытки улучшения этого порядка через вмешательство государства могут привести лишь к нарушению пропорций и уменьшению объема производства. В то же время, как и Милль, Вальрас считал, что законы распределения устанавливаются и регулируются человеческой волей, потому могут быть усовершенствованы с учетом требований справедливости.

Представления Вальраса о сущности и задачах экономической науки нашли свое отражение в предложенной им структуре науки. Он выделяет три раздела: позитивную теорию рыночного хозяйства, нормативную теорию распределения, прикладную теорию, или теорию политики.

Наиболее известной работой Вальраса является книга «Элементы чистой политической экономии, или теория общественного богатства» [177] вышедшая ДВУ^ сетями в 1874 и 1877 гг. Само название книги свидетельствует о ее принадлежности к разделу чистой теории.

В этой работе Вальрас изложил основные принципы общего равновесия и на их основе дал анализ процессов обмена, производства, сбережений инвестиций и отчасти денежного обращения. Он показал что если оставить в стороне проблему справедливости, и следовательно вопрос о первоначальном распределении ресурсов, можно утверждать что экономика свободной конкуренции приходит в состояния равновесия которое характеризуется максимумом индивидуальных функций полезности при заданных бюджетных ограничениях.

В первой методологической части Вальрас изложил свою позицию по поводу задачи сущности экономической науки и определил ее составляющие в которых говорилось выше. Во второй части он теоретически обосновал кривые спроса, которые в свое время были эмпирически обоснованы Курно, а также ввел понятие предельной полезности опираясь на предложенное его отцом Огюстом Вальрасом понятие редкости.

В третьей части была изложена теория равновесия обмена. Валь-рас представил зависимости спроса и предложения от цен, ввел условную денежную единицу Условия равновесия в этой модели он задал как равенство спроса и предложения для всех товаров.

Четвертую часть Вальрас посвятил производству при заданном объеме всех производства ресурсов. Он ввел понятие издержек производства, определил коэффициенты удельных затрат и предположил их фиксированность, а к условиям равновесия предыдущей модели добавил условия равенства цен товаров издержкам их производства (условие нулевой прибыли), балансовое равенство на объем ресурсов.

Пятую часть Вальрас посвятил равновесию расширяющейся экономики. В этой модели объем одного фактора (капитала) возрастает, следовательно имеют место сбережения и инвестиции. Он ввел понятие сбережений как непотребленной части дохода, величина которой определена условием равенства предельной полезности ожидаемых доходов и предельной тяжести, связанной с отказом от текущего потребления инвестиций как стоимостного выражения новых капитальных активов, рыночная цена которых определена ожидаемых доходностью; и соответствующим образом дополнил условия равновесия. Он ввел уравнения, устанавливающие равенство цены капитальных активов и издержек их производства, чистых норм доходности активов различного вида, а также балансовое равенство - равенство совокупных сбережений и инвестиций. В этой модели точка равновесия характеризовалась равенством между чистой доходности единичного актива и нормой процента.

В шестой части Вальрас обсуждал проблему включения т.е. превращения модели из натуральной в денежную, роль денег в экономике, а также вид функции, устанавливающей зависимость массы денег в обращении от важнейших экономических показателей.

Речь шла, в частности, о том, что в простейшей модели обмена деньги остаются лишь счетной единицей, а денежное обращение может быть описано уравнением в духе количественной теории. Более содержательную трактовку приобретают деньги в экономике, в которой реальное значение имеет время и допускается возможность ошибок прогнозов. В этом случае возникает необходимость запасов, одним из которых и оказываются деньги. Функция денег состоит в синхронизации платежей в условиях неопределенности. Как и в отношении других запасов, функция спроса на деньги должна зависеть от процента. Именно к такой трактовке денег Вальрас пришел в «Теории денег» (1886), положив в основу спроса на деньги индивидуальный спрос на кассовые остатки. Этот подход нашел отражение в шестой части четвертого издания «Элементовполитической экономии…», когда к деньгам был применен принцип индивидуальной оптимизации.

Работа «Очерки социальной экономии. Теория распределения об венного богатства» ( 1896)[178] посвящена роли государства, частной собственности и налогам. В этой работе он высказался в пользу минимального государства, сфера деятельности которого ограничен производством общественных благ и контролем за монополиями; предложил установить минимальный уровень налогов, причем налогов собственность, а не на доходы, выдвигал достаточно радикальную идею национализации земли с целью повысить эффективно использования и использовать полученную государством ренту финансирования производства общественных благ[179].

В работе «Очерки прикладной политической экономии. Теория производства общественного богатства» (1898)[180] раскрываются различные проблемы сферы финансов, денежного обращения и деятельности банков. Здесь Вальрас продолжил анализ, начатый в 1886 г. в книге Теория денег», и, в частности, высказался за ограниченно регулируемый золотой стандарт в условиях биметаллизма, позволивший бы правительству противостоять колебаниям цен путем изменения пропорций золотых и серебряных денег.

2. Модель общего равновесия, включающая производство; проблема существования решения и процесс «tatonnement»

Рассмотрим модель общего равновесия Вальраса, включающую производство при заданном объеме факторов[181]. В экономике действуют т независимых потребителей, владеющих k факторами производства, которые они продают фирмам. Потребители максимизируют свои функции полезности при бюджетных ограничениях. В результате оптимизации определяется индивидуальный спрос на товары как функция всех цен и дохода данного потребителя от продажи имеющихся у него факторов.

Один из товаров принимается за денежную единицу - это так называемый numeraire, цена которого равна 1. Возможность подобной операции определена видом функций, задающих бюджетные ограничения[182].

Максимизирующие прибыль фирмы покупают факторы производства и производят п - 1 вид товаров, причем каждая фирма водит только один вид товаров. Производственные характера выраженные коэффициентами удельных затрат - затрат фактора на единицу производимого товара, - предполагаются постоянными. В модели имеет место свободная конкуренция, нет никаких с ограничений ни на величину, ни на подвижность цен или количеств.

Поведениеj-го потребителя описывается следующейпаройфункций:

Х^d_ij = f_ij(p₂,..., p_n, q⁵_ij,..., q⁵_vj); i ⁼ 2, 3,..., п; j = 1, 2,..., т,

Неудивительно, что Вальрас даже не пытался вывести математически строгие условия существования равновесия, а ограничился демонстрацией возможного механизма движения к равновесию, так называемого процесса «tatonnement».

Вальрас исходил из того, что может быть два типа этого процесса. Первый, когда движение начинается с произвольного вектора цен, причем обмен совершается по этим «неправильным» ценам. В этом случае какие-то участники оказываются в выигрыше, а другие в проигрыше, т.е. нарушается принцип индивидуальной максимизации, заключенные сделки аннулируются и предлагаются новые цены, по которым «заключаются» сделки на следующем этапе, и т.д. Этот метод предполагает длительный процесс проб и ошибок, который в принципе может прийти к равновесию.

Более надежным способом достижения равновесия Вальрас считал процесс, управляемый неким арбитром-«аукционистом». Последний по основе заявок рассчитывает предполагаемые спрос и предложение и корректирует цены, имитируя таким образом процесс проб и ошибок. Сделки заключаются только после того, как аукционист объявит равновесные цены. Это произойдет, когда количество предлагаемого по объявленной цене товара окажется равным объему его предложения при этой цене.

Будет ли система двигаться к равновесию, сможет ли аукционист определить равновесные цены - зависит оттого, каким образом реагируют на расхождения между спросом и предложение характеристик соответствующих функций. Вальрас исходил из достаточно реалистичного предположения, что избыточный спрос вызывает повышение цены соответствующего товара, а избыточное предложение - понижение.

Пусть мы находимся в ситуации, когда Е₂ (р₂,, р₃,,) > 0; Е₃ (р₂, р₃)<0, где Е - функции избыточного спроса. Процесс «tatonnemeia» начинается в этом случае с повышения р₂, в результате чего достигается равновесие на этом рынке и определяется новый вектор цен – (р*₂, р₃). Затем уменьшается р₃ и при р = р*₃ Е₃ достигает нулевого значения. Однако в силу взаимосвязанности рынков процесс приближения к равновесию на одном рынке может привести к нарушению установившегося ранее равновесия на другом рынке, т.е. Е₂ (р*₂,р*₃) будет равно 0.

Очевидно, что раздельный поиск равновесных цен на рынках в подобной ситуации невозможен. Возникает вопрос о «перекрестном» взаимодействии функций спроса и цен, причем картина этого модействия очевидно сложна, если число товаров более трех. Не найдя строгого решения в общем виде, Вальрас ввел предположение, что изменение цены товара должно оказывать большее воздействие на спрос на соответствующий товар, чем на любой другой. Но строгие формулировки условий, которым должны удовлетворять функции спроса, чтобы процесс «tatonnement» сходился, были сформулированны лишь через несколько десятилетий после Вальраса.

Рассмотрим, как «работает» «tatonnement» в более сложных моделях Вальраса, например в модели производства. Пусть возрос спрос на некий товар, его цена повысилась и у фирмы, его производящей, возникла возможность получить положительную прибыль, следовательно, возникли стимулы для роста производства и увеличения предложения. Рост предложения приводит к замедлению роста цен и исчезновению положительной прибыли. (Если в модели ввел лее реалистичные предпосылки о снижающейся производительности факторов, то указанный процесс происходит быстрее из-за издержек.) В итоге равновесие восстанавливается. В более с модели, включающей накопление капитала, процесс достижения равновесия предполагает изменение не только цен и количеств, но и ставки процента.

Проблема интеграции денег. Один из важнейших вопросе которыми столкнулся Вальрас, развивая свою систему и усложняя модель общего равновесия, - деньги. Что касается простой модели обмена, то уже по самому характеру этой модели ее целью является определение меновых пропорций. Иными словами, условная экономика, которая описывается подобной моделью, - это натуральная система, в которой отсутствуют деньги. Разумеется, как и было сделано выше, один из товаров можно назвать деньгами и принять a, его цену за единицу. Более того, можно задать масштаб цен, связав его с количеством этого товара - денег, используя агрегатное управление количественной теории. Однако превратит ли подобная процедура экономику из натуральной в денежную? Ответ зависит от представления о деньгах и их функциях. И здесь важно объяснить, зачем рационально действующему в системе Вальраса индивиду могут вообще понадобиться деньги. Если благодаря аукционисту сделки заключаются только после определения равновесных цен и в соответствии с ними и само по себе определение равновесных цен не требует усилий со стороны индивидов, т.е. по существу исключается фактор неопределенности, хранение денег оказывается излишним. Осознавая эту проблему, Вальрас предложил рассматривать деньги как некий страховой запас на случай, когда поступления и платежи оказываются несогласованными во времени. Однако вопрос о природе неопределенности в модели Вальраса и о роли времени в этой модели остался открытым.

Формальное противоречие, связанное с введением денег в модель Вальраса, можно заметить и когда предпринимаются попытка включить их в модель обмена. Это противоречие известно в литературе как противоречие между законами Сэя и Вальраса.

Если один из товаров в модели - деньги, то в соответствии с законом Вальраса, если равновесие достигнуто на товарных рынках, то оно выполняется и на рынке денег, а следовательно, невозможно определить денежные цены товаров. Что, впрочем, вполне естественно Для бартерной экономики, которой является экономика Вальраса. Для того чтобы сделать эту экономику денежной, необходимы некоторые модификации, которые и были сделаны Д. Патинкином в середине хх в., о чем будет сказано ниже.

Итак, Вальрас поставил и в различной степени проанализировал широкий круг теоретических проблем, большинство из которых стали предметом пристального внимания ученых в последующие десятилетия и во многом определили направление будущего развития экономической теории. Кроме уже упоминавшихся проблем существования равновесия, неопределенности и денег и целого круга вопросов, с ним связанных, следует назвать проблему динамики.

Дело в том, что модель Вальраса является статической. В ней предполагаются заданными предпочтения индивидов, исходные запасы товаров и ресурсов, характеристики производственного процесса отраженные в коэффициентах удельных затрат, и т.д. Статически тер не только модели, но и подхода Вальраса проявился в том, что в центре внимания был вопрос о состоянии равновесия как о та стоянии, в котором не могут возникнуть импульсы к каким-либо изменениям, поскольку достигнут максимум индивидуальных функций полезности. Наиболее простым и очевидным способом преодоления статичности модели является так называемая сравнительная и предполагающая сравнение состояний равновесия при различных исходных условиях модели, например, величины начальных запасов товаров или ресурсов. Однако, хотя сравнение последовательных равновесных состояний и дает некоторую информацию о траекторий движения системы между равновесными точками, строгие выводы об этой траектории сделать нельзя. Единственный строгий результат лучен Моришимой для бинарного сдвига функций избыточного агрегированного спроса[183]. Проблема динамики оказалась настолько сложной, что и сегодня нельзя сказать, что она решена.

Идеи Вальраса успешно развивали Эджуорт, Парето, Фишер. Но как самостоятельное направление экономической теории в сов ном виде теория общего экономического равновесия сформировалась в 30-е годы XX в., когда были даны математически строгие определения равновесия и корректно сформулированы проблемы существования, единственности и устойчивости равновесия и намечены пути решения этих проблем. Успехи теории общего равновесия были неразрывно связаны с развитием соответствующих разделов май ки и прежде всего с возникновением теории игр.

В развитии теории общего равновесия в XX в. можно, хотя и с определенными оговорками, выделить два направления. Первое, которое условно можно назвать микроэкономическим, связано с именами А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса, М. Алле, К. Эрроу и Ж. Дебре[184]. Исследования в рамках данного направления сконцентрировались вокруг различных аспектов проблемы существования равновесия; наиболее заметные достижения были сделаны в период с конца 20-х до начала 60-х годов.

Второе направление - условно макроэкономическое - возникло под влиянием общего интереса к макроэкономическим проблемам и прежде всего к проблемам безработицы и денег, анализ которых неразрывно связан с важнейшей для представителей этого направления методологической проблемой - соотношение между макро- и микроподходами. Называя тех, кто внес вклад в развитие этого направления, безусловно, следовало бы начать с Дж.М. Кейнса, который, хотя и являлся в определенном смысле ниспровергателем равновесного подхода, предопределил проблематику будущих исследований, в том числе и в области теории равновесия. Среди ученых, которых можно отнести к данному направлению, следует назвать О. Ланге, Д. Патинкина, Р. Клауэра, Р. Бэрроу, Г. Гроссмана. Между указанными направлениями пролегает некоторая область общих интересов, связанная с проблемами неопределенности, ожиданий, ограниченности информации и т.д.

Строгий анализ общего равновесия начал А. Вальд. В серии статей, наиболее известная из которых была опубликована в 1936 г.[185], он дал строгое определение равновесия и математически доказал существование конкурентного равновесия для некоторых моделей. Иными словами, он показал, что при некоторых условиях в системе типа Вальраса существует такой вектор неотрицательных цен, что равенство спроса и предложения, которое устанавливается в результате действий производителей и потребителей, максимизирующих свои целевые функции, исходя из этих цен, определит именно эти цены.

Вальд также попытался исследовать проблему единственности решения и выдвинул в качестве альтернативных условий существования слабую аксиому о выявленных предпочтениях[186] для рыночных функций спроса (суммы индивидуальных функций спроса для каждого товара) и условие валовой субституции всех товаров (т.е. dE_i/dp_j > 0 для всех i¹j). Оба эти условия стали центральной темой всех последующих работ в данной области. Доказательство достаточности последнего условия было предложено в 1943 г. М. Алле.

Другим заметным достижением этого периода было доказательство существования равновесной траектории для пропорцией ширяющейся экономики, предложенное в 1937 г. Дж. фон Нейманом. [187] Эта работа замечательна не только тем, что понятие равновесия в ней было использовано применительно к изменяющейся экономике, но и тем, что впервые при доказательстве существования равное использован инструментарий теории игр. Тем самым был о альянс теории общего равновесия и теории игр, основанный, факте (который, однако, был строго доказан значительно позже), что модель типа Вальраса можно трактовать как игру, а следователе иск равновесия есть не что иное, как нахождение решения игры.

В экономике существуют два товара, которые создаются в ходе двух производственных процессов и полностью в них потребляются (отсутствует конечное потребление). Каждый производственных процесс характеризуется определенным уровнем интенсивно коэффициенты затрат и выпуска соответствуют единичному уровню его интенсивности.

Условия сбалансированности задаются следующим образом.

Для каждого товара агрегированный выпуск должен быть не меньше, чем затраты, необходимые, чтобы процесс продолжался в следующем периоде в расширенном масштабе:

(I)

b₁₁X₁ + b₁₂X₂ ³(1+g)(a₁₁X₁+a₁₂X₂),

b₂₁X₁+b₂₂X₂³ (l+g)(a₂₁X₁+a₂₂X₂),

где a_ij - затраты i-го товара в процессе j на единицу выпуска, b_ij - выпуск товара i в процессе. j на единицу затрат, X_j – интенсивноcть процесса j, g - темпы роста, r - процент.

Для каждого производственного процесса издержки с учете цента должны быть не меньше, чем получаемый доход, так какв противном случае соответствующий процесс расширяется, вызывая изменение структуры цен

(II)

(1 + r)(a₁₁p₁ + a₂₁p₂) ³ b₁₁p₁ + b₂₁ р_2,

(1 + r)(а₁₂p₁ + a₂₂p₂) ³ b₁₂p₁ + b₂₂p₂.

Вопрос в том, существуют ли интенсивность производственных процессов, уровень цен, процента и темп роста, удовлетворяющие двум группам условий, и каково их экономическое содержание?

Нейман доказал, что при некоторых условиях решение существует причем максимально возможный темп роста равен минимально допустимому проценту, т.е. max g = min r.

Это означает, что если выбран некий g, и для некоторых товаров условия (I) нарушаются, то требуется уменьшать g до тех пор, пока для всех товаров эти условия не будут выполняться, причем для какого-то (одного или нескольких товаров) как равенство. Этот товар (или несколько товаров) и будет экономическим, т.е. иметь положительную цену. Темп роста производства будет в этом случае максимальным из возможных.

Если r зафиксирован на очень низком уровне, многие процессы оказываются прибыльными - условия (II) нарушаются. Повышая r, можно добиться ситуации, когда для всех процессов условия будут выполняться, причем по крайней мере для одного процесса - как равенство. Определенный в этом равенстве r и будет минимальным из допустимых.

Нейман показал, что модель расширяющейся экономики может трактоваться как игра двух участников с нулевой суммой, один из участников которой максимизирует выигрыш - темп роста экономики при ограничениях на предложение, а другой - минимизирует проигрыш - процент при ограничениях на прибыль. Он доказал, что при некоторых условиях существует седловая точка (решение) такой игры, характеризующаяся равенством значений обеих целевых функций - темпа роста и процента. Это и есть точка равновесия, задающая траекторию сбалансированного роста.

Полученный фон Нейманом результат позволяет осознать важный аспект равновесия, который не был выявлен в модели Вальраса, а именно: равновесие - это максимум выпуска в денежном выражении и минимум доходов факторов. Этот вывод представляет собой выраженное другим языком утверждение Смита о равенстве стоимости произведенной продукции и суммы доходов в экономике.

Теория игр открыла новые способы доказательства существования равновесия в моделях типа Вальраса и анализа ситуаций, которые традиционный равновесный подход исключал из рассмотрения. Начав с простого случая так называемых антагонистических игр с Двумя участниками, когда проигрыш одного является выигрышем Другого, теория игр постепенно перешла к анализу более сложных ситуаций - неантагонистических игр с п участниками. Применительно к миру экономики это, в частности, означает отказ от идеи, согласно которой цены на рынке не зависят от поведенияотдельногоучастника. Иными словами, игровой подход позволяет перейти мира атомизированных и не влияющих на рынок индивидом реалистичной ситуации, когда от каждого участника зависит рыночная ситуация, например, как в случае олигополии.

Важную роль в совершенствовании методов доказательств существования равновесия сыграла теорема Какутани о неподвижна (1941), которая, в частности, позволила предложить элегантна иллюстрацию процесса «tatonnement» на языке современной математики[188].

В середине 50-х годов, основываясь на этой теореме, а также используя достижения в области линейного программирования, ученых и прежде всего нобелевские лауреаты К. Эрроу (1972) и Ж. Дебре (1983) предложили более простые и общие, чем у Вальда, теоремы существования единственного и экономически значимого решения модели Вальраса. Модель Эрроу-Дебре (1954) является классической в области современной теории общего равновесия[189]. Она представляет собой модифицированный вариант модели Вальрас в которую включено множество производственных возможностей то фиксированных производственных коэффициентов, а вместо функций полезности, обладающих хорошими свойствами, введены функции предпочтения.

В модели Эрроу-Дебре фирмы трансформируют затрат» пуск, причем кривые трансформации выпуклы, отсутствуете экономия на масштабах; домашние хозяйства предлагают труд и потребляют положительное количество товаров; их выбор определен функцией полезности, у которых кривые безразличия выпуклы; у домашних хозяйств есть положительное количество каждого товара и они претендуют на некоторую долю прибыли.

При этих предпосылках они доказали, что существует конкурентное равновесие, которое они определили следующим образом:

максимум прибыли при заданных ценах;

максимум полезности при заданных ценах и долях в прибылях;

цены неотрицательны;

если существует избыточное предложение товара, его цена нулю.

Пои доказательстве теоремы Эрроу и Дебре использовали теорему Нэша о решении игры с п участниками и показали эквивалент-ость понятий конкурентного равновесия и равновесия игры с п участниками.

Существовали и несколько иные подходы к доказательству равновесия в модели Вальраса. Так, Л. Маккензи использовал при доказательстве теоремы Эрроу-Дебре теорему о неподвижной точке и, что особенно важно, предложил достаточно простую интерпретацию процесса поиска равновесия, использовав идею единичного симплекса как пространства допустимых векторов цен[190]. Процесс поиска равновесных цен он трактовал как отображение множества цен в себя, причем процесс отображения проходит промежуточную стадию отображения цен в количества. Таким образом, процедура отображения становится интерпретацией процесса «tatonnement», неподвижная точка - точкой равновесия, а ее координаты - ценами равновесия.

История проблемы существования равновесия достигла своей кульминации, когда в 1959 г. Ж, Дебре опубликовал итоговую работу «Теория стоимости» [191], где с учетом всего сделанного ранее не только была изложена аксиоматика системы общего равновесия и было предложено доказательство существования равновесия, но и были представлены доказанные в 1951 г. Дебре и Эрроу теоремы благосостояния, устанавливающие (однозначное) соответствие между конкурентным равновесием и оптимумом по Парето. Последние выводят проблему равновесия в новое измерение, затрагивающее этические основы теории равновесия (см. гл. 14).

Наряду и порой параллельно с исследованием проблемы существования и сопряженного с ней широкого круга проблем развивался и анализ проблемы устойчивости. Существование равновесия ничего не говорит о поведении системы, т.е. о ее динамических свойствах. Поэтому проблема устойчивости неотделима от проблемы динамики. В самом общем виде устойчивость ассоциируется с «притяжением» системы к некоторому состоянию или траектории. Самое общее математическое определение устойчивости гласит: «Линия поведения системы называется устойчивой, если, начавшись внутри этой области, она никогда ее не покидает». Очевидно, что конкретизация этого определения может быть различной.

Дж. Хикс, П. Самуэльсон, К. Эрроу, Ф; Хан, Т Негиши, Л. Маккензи, X. Узава - вот неполный перечень тех, кто в разное время следовал проблему устойчивости равновесия. Но начало положили в 30-е годы Дж. Хикс и П. Самуэльсон[192].

Хикс предложил критерий устойчивости, представлявши существу, попытку формально выразить соображения, котором высказывались в связи с процессом «tatonnement», а именно что увеличение цены данного товара должно вызывать уменьшение избыточного спроса на него, причем этот прямой эффект сильнее возможного вторичного эффекта, связанного с косвенным влиянием цен других товаров, изменение которых было порождено изменением спроса на них в результате изменения цены исходного товара. Хикс сосредоточил внимание на матрице, составленной из частных производных функций избыточного спроса, и пришел к выводу, что главные миноры этой матрицы должны иметь меняющиеся знаки, причем первый минор должен быть отрицательным.

Позже Самуэльсон показал, что критерий Хикса в общем случае не является ни необходимым, ни достаточным. Он подвергнут критике хиксианское представление об устойчивости на том основана оно определено по аналогии со случаем одного рынка, и пред собственный подход к анализу устойчивости. Самуэльсон исход представления об устойчивости как о «притяжении» к некоторой точке, т.е. понимал ее как свойство системы возвращаться к равновесной траектории после изменения исходных условий. Он обрат динамическим характеристикам процесса «tatonnement», а именно к зависимости, связывающей скорость изменения цены товара и. чины избыточного спроса на него. Для наиболее простого случая - когда эта зависимость линейна, т.е. может быть представлен dp/dt == с (А + Вр), где А и В - матрицы коэффициентов, р - вектор цен, он показал, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является то, что действительные части характеристических чисел матрицы В отрицательны[193]. Для случая одного рынка это условие эквивалентно условию Хикса.

В конце 50-х годов, используя иные методы анализа, Эрроу другие экономисты-математики сформулировали следующие альтернативные достаточные условия устойчивости: все товары - субституты; рынки удовлетворяют слабой аксиоме о выявленных предпочтениях; якобиан (т.е. определитель матрицы, составленной из частных производных функций избыточного спроса) имеет доминантную диагональ элементы которой отрицательны. Последнее условие, очевидно, не что иное, как утверждение о том, что увеличение цены данного товара ведет к уменьшению спроса на него, независимо от воздействия других цен.

Дискуссии, о которых шла речь выше, строго говоря, касались математической стороны теории общего равновесия, экономическая интерпретация полученных результатов часто оказывалась достаточно затруднительной. В этом смысле более экономически содержательными были исследования в рамках того направления, которое выше было обозначено как макроэкономическое.

Дата добавления: 2014-01-04