Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов

Определения кинетической и потенциальной энергии, а также импульса и момента импульса, данные в механике для материальной точки и системы материальных точек, отнюдь не распространяются на поля.

Рассмотрим систему заряженных материальных точек, взаимодействующих между собой. Такая система описывается уравнениями Максвелла-Лоренца. Пользуясь этими уравнениями, распространим понятия энергии и импульса на поля, находя величины, сохраняющиеся для изолированной системы поле - заряды. Макроскопические электрические заряды, так или иначе, связаны с материальными телами, на которых они расположены. Пусть частица массой

несет заряд . Тогда по второму закону Ньютона уравнения движения имеют вид:

. (2.36)

Умножим это выражение на , получим выражение для энергии

В правой части этого выражения стоит работа силы Лоренца. Она совершается только электрической составляющей этой силы, так как магнитная составляющая равна нулю (векторы и коллинеарны).

Левую часть преобразуем с помощью тождества

.

Действительно, , тогда в левой части

в правой части

Тогда окончательно получаем

- элементарная работа силы Лоренца равна приросту релятивистской кинетической энергии заряженной материальной точки.

Просуммируем теперь элементарные работы по всем точкам системы и разделим на dt:

(2.37)

(здесь на dt разделили левую и правую части).

Формула (2.37) выражает теорему об изменении энергии системы материальных точек в единицу времени за счет работы поля, совершенной над ними. Выведенная формула для точечного заряда обобщается и на случай непрерывно распределенного в пространстве заряда. Для работы поля в единицу времени имеем:

причем - плотность тока, - заряд одного носителя, - число носителей в единице объема. Тогда

. (2.38)

Мощность, заключенная в единице объема (плотность мощности) равна

Итак, за счет работы поля изменяется кинетическая энергия находящихся в поле заряженных частиц. При этом энергия поля превращается в кинетическую энергию частиц.

2.10.2.3. Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии

Найдем энергию электромагнитного поля по заданным значениям векторов и . Для этого используем уравнения Максвелла

Умножим первое уравнение на , второе – на получаем

Из равенства (2.39) вычтем (2.40), имеем

(2.41)

Из математики известно, что

Левая часть выражения (2.41) есть частная производная по времени от функции Тогда имеем:

или

Проинтегрируем это выражение по объему V:

Преобразуем: Получаем

(2.42)

Но - работа поля за единицу времени в пределах конечного объема V. Тогда - плотность энергии электромагнитного поля. Она равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей. - плотность потока энергии, называемая вектором Пойтинга. Этот вектор направлен в сторону перемещения энергии и по абсолютному значению равен энергии, которая в единицу времени переносится полем через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку.

Тогда энергия поля в заданном объеме V равна

Поток энергии поля через замкнутую поверхность в единицу времени определяет полную мощность излучения системы зарядов и равен

Таким образом, равенство (2.42) – это математическое выражение закона изменения энергии электромагнитного поля. Его можно переписать в виде:

(2.43)

(W не зависит от координат точек поля и частную производную можно заменить полной). Теорема (2.43) читается так: убыль энергии в некотором объеме равна потоку энергии, выходящему из объема, и работе, совершаемой полем над зарядами в этом объеме. В дифференциальной форме эта теорема имеет вид:

В области, где нет зарядов и токов (), плотность электромагнитной энергии связана с ее потоком уравнением непрерывности:

(2.44)

Это уравнение является локальным выражением закона сохранения энергии для электромагнитного поля при отсутствии зарядов. Оно выражает теорему Пойтинга.

Проинтегрируем (2.44) по объему V, ограничивающему поверхность s:

Таким образом, при отсутствии зарядов убыль энергии поля в объеме V в единицу времени равна интегральному потоку энергии через поверхность, ограничивающую этот объем.

Если потока энергии через границы поля нет, , и энергия поля убывает, если - заряды движутся под действием сил поля. Если же , то энергия поля растет, но в этом случае работают не силы поля, а сторонние силы, не сводящиеся к силе Лоренца.

2.10.2.4. Закон сохранения энергии для изолированной системы «поле- заряды»

Рассмотрим изолированную систему поле -заряды. Изолированность системы следует понимать как отсутствие потока энергии через ограничивающую ее поверхность и отсутствие потока массы, который тоже уносил бы энергию. В таком случае убыль энергии электромагнитного поля в единицу времени равна

- работе, совершаемой полем над зарядами.

Ясно, что работа, производимая над зарядами, является мерой превращения энергии поля в другие виды: в кинетическую энергию заряженных частиц и тел, потенциальную энергию деформации, внутреннюю энергию среды и т.д. Для дискретной системы зарядов

тогда подставляя в (2.42) выражение (2.36), получаем

.

Из этого выражения следует, что

В последнем равенстве объем V может быть или конечным, или охватывать все пространство. Это соотношение выражает закон сохранения энергии в изолированной системе поле-заряды: в изолированной системе поле-заряды сохраняется сумма энергии поля и релятивистской энергии заряженных материальных точек.

Дата добавления: 2014-01-04