Площа трикутника

План

Тема 3. Вектори

1. Вектори, лінійні операції над векторами.

2. Скалярний, векторний і мішаний добуток векторів.

3. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

1. Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо ,.... Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 3.1

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь l — пр_l . З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l = ,

де — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х ₁, у ₁, z ₁) і кінця В (х ₂, у ₂, z ₂) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: а_х = х ₂ – х ₁, Оу: а_у = у ₂ – у ₁, Оz: а _z = z ₂ – z ₁.

Довжина вектора подається формулою:

(3.1)

Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (3.2)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (а_х + b_х, а_у + b_у, а_z + b_z).

2. Множення вектора на число a Î R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відпо-
відно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(3.3)

2. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. . якщо

.

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(3.4)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є а_х b_х + а_у b_у + а_z b _z = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

Рис. 3.2

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(3.5)

або

.

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Рис. 3.3

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (3.6)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

3. Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

Рис. 3.4

Нехай задано дві точки М ₁ (х ₁, у ₁) і
М ₂ (х ₂, у ₂) (рис. 2.10).

.

Трикутник М ₁ М ₂ K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

(3.7)

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Рис. 3.5

Число l — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М ₁ М ₂ (рис. 2.11), якщо

.

Нехай задано l і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа х – х ₁ і х ₂ – х одного й того самого знака (при х ₁ < х ₂ вони додатні, а при х ₁ > х ₂ — від’ємні), то . Отже, .

Звідси:

. (3.5)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

. (3.6)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М ₁ М ₂, то
l = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:

.

Рис. 2.12

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х ₁, у ₁), В (х ₂, у ₂), С (х ₃, у ₃) (рис. 2.12).

Знайдемо площу цього трикутника.

Тема 4. Пряма на площині і в просторі

Дата добавления: 2014-01-04