Расширенная прямая

Вещественные числа

Операции над множествами

Способы описания множеств

Множества и операции над ними

Множество (совокупность, семейство, набор, ансамбль и т.п.) состоит из своих элементов. Обычно множества обозначаются прописными буквами, например, A, B, X, K, а их элементы– строчными a, b, x, K Принадлежность элемента множеству обозначается как a Î A или A ' a. Любой объект либо входит в множество, либо нет.

с помощью списка элементов.

Они записываются через запятую в фигурных скобках. Например,

A = {стол, стул, диван, картина, кашель};

N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел;

Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} – множество целых чисел.

с помощью характерного свойства элементов.

Запись {x | высказывание об x} обозначает множество всех тех элементов x, для которых высказывание в скобках является верным. В этом случае вертикальная черта читается: “таких, что”. Например, множество всех рациональных чисел (обыкновенных дробей) задается так: Q = { | m Î Z, n Î N};

Объединением множеств A и B (обо­значается A U B) называется множество, содержащее все элементы как первого множества, так и второго и только их.

Пересечением двух множеств (обоз­на­ча­ет­ся A I B) называется множество, состоящее из их общих элементов.

Разность множеств A \ B состоит из элементов, входящих в A и не входящих в B.

Если зафиксировано универсальное множество E (например, множество всех чисел), то дополнением к множеству A называется разность E \ A.

Декартово произведение A ´ B состоит из всех пар вида (a, b), где a Î A, b Î B.

Множество A называется подмножеством множества B если все элементы A входят в B. Символическая запись: A Ì B. Читается “A является под­мно­жеством B” или “A входит в B”.

Вещественное число это …

… результат измерения длины (с учетом направления);

… бесконечная десятичная дробь;

Если на прямой выбрать точки 0 и 1, мы получим точку отсчета и единицу измерения, что позволяет нам измерить расстояние до любой точки M и сопоставить с ней вещественное число. При этом точкам на одном луче (содержащем единицу) соответствуют положительные числа, а на противоположном – отрицательные. Размеченная таким образом прямая называется числовой прямой и обозначается R.

На вещественные числа можно распространить все арифметические операции (кроме деления на 0).

Неравенство треугольника. Для любых чисел a, b выполняется неравенство |a + b| £ |a| + |b|. Следствие: для любых чисел a, b, c имеем |a – b| £ |a – c| + |c – b|.

Расширенная прямая R* получается добавлением к обычной прямой R условных элементов: одного: ¥ или двух: +¥ и –¥. Считается, что элемент +¥ больше любого числа, а элемент –¥ – меньше. Элемент ¥ не сравним ни с какими числами.

Для новых элементов вводятся арифметические действия. Например, 1/0 = ¥, 1/¥ = 0, ¥ + a = ¥ (a Î R) и т.п. Однако некоторые действия недопустимы на расширенной прямой. Не имеют смысла выражения,, 0×¥, ¥ – ¥.

Дата добавления: 2014-01-04